1.4. Виды случайных событий.

Определение: Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого.

Определение: Два события называются совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого.

Пример: а) Выпадение орла при подбрасывании монеты исключает появление решки и наоборот.

Пусть событие A – выпадение орла, а событие B – выпадение решки. A и B – несовместные события.

b) Если же подбросили две монеты, то появление события A на одной монете, а B – на другой возможно. Следовательно, A и B – совместные события.

Определение: Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием.

В предыдущем примере в пункте (а): A и B образуют полную группу.

Рассмотрим события в пункте (b):

A₁ – орёл на первой монете,

A₂ – орёл на второй монете,

B₁ – решка на первой монете,

B₂ – решка на второй монете.

Тогда события A₁, A₂, B₁, B₂ образуют полную группу.

Следствие: Если события, образующие полную группу, попарно несовместны (т.е. каждые два из них несовместны), то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Заметим, что не существует строгого определения равновозможности событий. Дадим нестрогое определение.

Определение: События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

В предыдущем примере в пункте (а): события A и B – равновозможные.

Пример: Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Т.к. игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

Пример: Из колоды карт случайным образом вытащили одну карту. Событие A – карта красной масти, B – бубновый король. События A и B не являются равновозможными.

Определение: Среди всех возможных событий, которые в данном испытании могут произойти, можно выделить множество элементарных событий (элементарных исходов) по следующим признакам:

1) Все они взаимно исключают друг друга, и в результате испытания обязательно происходит одно из этих событий;

2) Каково бы ни было событие A, по наступившему элементарному событию можно судить о том, что наступило или не наступило событие A.

Пример: Брошена монета. Тогда элементарными событиями являются:

ω₁ – выпадение орла;

ω₂ – выпадение решки.

Пример: Брошена игральная кость. Тогда элементарными событиями являются:

ω₁ – выпадение одного очка;

ω₂ – выпадение двух очков;

ω₃ – выпадение трех очков;

ω₄ – выпадение четырех очков;

ω₅ – выпадение пяти очков;

ω₆ – выпадение шести очков.

1.5. Классическое определение вероятности.

Пусть в результате испытания появляются элементарные исходы (события): ω₁, ω₂, ω₃, …, ω_m, ω_m+1, …, ω_n, которые образуют полную группу попарно несовместных равновозможных событий.

Определение: Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовём благоприятствующими этому событию.

Пусть интересующее нас событие A наблюдается, если наступает один из элементарных исходов: ω₁, ω₂, …, ω_m.

Определение: Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример: В урне имеется шесть одинаковых шаров: два из них – красные, три – синие и один – белый. Наудачу извлекаем шар.

Найти вероятность того, что он не белый.

Решение: Возможно шесть элементарных исходов:

ω₁ – появился белый шар,

ω₂, ω₃ – появился красный шар,

ω₄, ω₅, ω₆ – появился синий шар.

Вычисляем вероятность извлечения не белого шара:

т.к. m = 5, n = 6.

Из определения вероятности вытекают следующие её свойства:

Свойство 1: Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство: Событие достоверно, следовательно, каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию:

Свойство 2: Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство: Событие невозможно, следовательно, ни один элементарный исход не является благоприятствующим событию:

P( )

Свойство 3: Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей.

Доказательство: Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. Следовательно, 0 < m < n, тогда:

Вывод: Вероятность любого события удовлетворяет неравенству:

Заметим, что классическое определение вероятности имеет свои недостатки. Например, оно предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Отсюда вытекает ограниченность классического определения. Другой недостаток классического определения вероятности: часто бывает невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Требуется введение других определений вероятности.