
- •С.Е.Игнатова теория вероятностей
- •Санкт-Петербург
- •Утверждено редакционно-издательским советом сПбГиэу
- •Игнатова с.Е.
- •Содержание:
- •Предисловие
- •Введение
- •Краткая историческая справка.
- •1. Правила действия со случайными событиями и вероятностями их осуществления.
- •1.1. Предмет теории вероятностей.
- •1.2. Основные формулы комбинаторики.
- •1.3. Испытания и события.
- •1.4. Виды случайных событий.
- •1.5. Классическое определение вероятности.
- •1.6. Статистическая вероятность.
- •1.7. Геометрическая вероятность.
- •1.8. Аксиоматика а.Н. Колмогорова.
- •1.9. Алгебра событий.
- •1.10. Теоремы сложения вероятностей.
- •1.11. Условные вероятности, независимость событий и экспериментов.
- •1.11.1. Теоремы умножения вероятностей.
- •1.11.2. Формула полной вероятности.
- •1.11.3. Вероятность гипотез. Формула Байеса.
- •1.11.4. Схема независимых испытаний (схема Бернулли).
- •2. Случайные величины и законы распределения вероятностей.
- •2.1. Виды случайных величин.
- •2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •2.2.1. Функция распределения вероятностей случайной величины.
- •2.2.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
- •2.3. Основные числовые характеристики случайных величин.
- •2.3.1. Математическое ожидание.
- •2.3.2. Дисперсия.
- •2.3.3. Среднее квадратическое отклонение.
- •2.3.4. Мода и медиана.
- •2.4. Производящие функции моментов.
- •2.5. Законы распределения вероятностей, наиболее распространенные в практике статистических исследований.
- •Вероятностный смысл параметров:
- •2.5.1. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
- •2.5.2. Вычисление вероятности заданного отклонения.
- •2.5.3. Правило трёх сигм.
- •2.6. Последовательности случайных величин в дискретном вероятностном пространстве.
- •3. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
- •4. Совместное распределение случайных величин.
- •4.1. Закон распределения двумерной случайной величины.
- •4.2. Вычисление основных числовых характеристик случайных величин х и y.
- •4.3. Условные распределения.
- •4.4. Зависимые и независимые случайные величины.
- •4.5. Коэффициент корреляции двух случайных величин и его свойства.
- •4.6. Независимость и некоррелированность.
- •4.7. Нормальный закон распределения на плоскости.
- •Вероятностный смысл параметров:
- •4.8. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.
- •5. Последовательности, образующие цепь Маркова.
- •5.1. Равенство Маркова.
- •5.2. Финальные вероятности.
- •Заключение
- •Список литературы:
- •Сведения об авторе.
1.2. Основные формулы комбинаторики.
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определённым условиям, которые можно составить из элементов любой природы, заданного конечного множества.
Приведем определения основных комбинаций и формулы для вычисления.
Определение: Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число Pn всех возможных перестановок вычисляют по формуле:
Pn = n!
где
Заметим, что, по определению, 0! = 1, а 1! = 1.
Пример: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение:
Определение: Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число
всех
возможных размещений вычисляют по
формуле:
Пример: Сколькими способами можно рассадить четырех студентов на десяти свободных местах?
Решение:
Пример: Сколько трёхзначных чисел можно составить из семи различных цифр при отсутствии среди них нуля?
Решение:
Определение: Сочетаниями называются комбинации, составление из n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний
вычисляют
по формуле:
Пример: Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего десять деталей?
Решение:
Для числа сочетаний справедливы равенства:
Число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов, равно 2n:
Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:
.
Теперь рассмотрим основные правила комбинаторики.
Правило сложения: Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо B можно (m + n) способами.
Пример: Сколькими способами из колоды, содержащей 36 карт, можно выбрать туза или пиковую даму?
Решение:
Заметим, что
Правило произведения: Если объект A можно выбрать из совокупности объектов m способами и, после каждого такого выбора, объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A, B) в указанном порядке может быть выбрана m·n способами.
Пример: Из пункта А в пункт В можно добраться тремя способами, из пункта В в пункт С можно добраться двумя способами, а из пункта С в пункт D можно добраться четырьмя способами. Сколькими способами можно добраться из пункта A в пункт D ?
Решение: Из пункта A в пункт D можно добраться 3·2·4= 24 способами.
Пример: Сколькими способами можно распределить золотую, серебряную и бронзовую медали между шестнадцатью претендентами?
Решение: Решить
эту задачу можно двумя способами: по
правилу произведения 16·15·14
= 3360, или
используя формулу для размещений
1.3. Испытания и события.
Выше было введено определение случайного события.
Обычно в ТВ вместо совокупности условий S употребляют термин испытание.
Итак, испытание – это совокупность условий S.
Тогда событие – это результат (исход) испытания.
Например, если ведётся стрельба по мишени, то выстрел – это испытание, а попадание в мишень (промах) – это событие.
Другие примеры:
1. Подбрасывание монеты вверх – это испытание, выпадение орла (решки) – событие.
2. В урне лежат цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара – это испытание, а появление шара определённого цвета – это событие.