4.2. Вычисление основных числовых характеристик случайных величин х и y.
Основные числовые
характеристики случайных величин Х
и Y,
являющихся компонентами двумерной
случайной величины
вычисляют
по формулам, данным для одномерных
случайных величин. Сделаем сводку этих
формул.
Если
двумерная
случайная величина дискретного типа,
и она задана таблицей совместного
распределения
Х и
Y:
Y \ Х |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
Тогда имеем:
Если двумерная случайная величина непрерывного типа, и она задана плотностью f(x,y) совместного распределения вероятностей Х и Y, тогда имеем:
4.3. Условные распределения.
Как известно,
вероятность совместного появления
дискретных случайных величин
,
можно выразить в виде:
р( , ) = р( )р( / ),
где р( / ) – условная вероятность.
Определение:
Условным
распределением компоненты Х при Y
=
называют совокупность условных
вероятностей р(
/
),
р(
/
),
…, р(
/
),
вычисленных в предположении, что событие
Y
=
(j
имеет одно и то же значение при всех
значениях Х) уже наступило.
Аналогично определяется условное распределение компоненты Y.
Определение:
Условной
плотностью
распределения вероятностей компоненты
Х при данном значении
называется отношение плотности
совместного распределения вероятностей
двумерной случайной величины
к плотности совместного распределения
вероятностей
компоненты
:
или
Заметим, что отличие
условной плотности
от безусловной плотности
состоит в том, что функция
даёт распределение
при условии, что компонента
приняла значение
.
Функция же
даёт распределение
независимо от того, какие из возможных
значений приняла компонента
.
Аналогично
определяется условная
плотность компоненты
при данном значении
:
или
Свойства
и
аналогичны
свойствам функции плотности.
Определение: Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины при (x – определённое возможное значение X), называют сумму произведений возможных значений на их условные вероятности:
Определение:
Условным
математическим ожиданием непрерывной
случайной величины
при
(x
– определённое возможное значение X),
называют несобственный интеграл от
произведения
на
условная
плотность
при
:
Определение:
Условное
математическое ожидание
(краткое
обозначение
) есть функция
от
:
,
которую называют функцией регрессии на .
Аналогично
определяются условное
математическое ожидание случайной
величины
и функция
регрессии
:
.
Задавая различные
значения
,
можно построить кривую регрессии
.
4.4. Зависимые и независимые случайные величины.
Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.
Теорема:
Для того, чтобы случайные величины
были независимыми, необходимо и
достаточно, чтобы функция распределения
вероятностей соответствующей двумерной
случайной величины
была равна произведению функций
распределения вероятностей ее компонент:
Доказательство:
Сначала докажем необходимость. Пусть
случайные величины
независимы. Следовательно, события
также независимы. Тогда имеем:
По определению функции распределения получаем:
Теперь докажем достаточность. Пусть выполняется равенство:
По определению функции распределения это означает, что:
Следовательно, случайные величины независимы.
Следствие: Для того, чтобы непрерывные случайные величины были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения вероятностей соответствующей двумерной случайной величины была равна произведению плотностей распределения вероятностей ее компонент:
Доказательство: Сначала докажем необходимость. Пусть непрерывные случайные величины независимы. Тогда, на основании теоремы, имеем:
Продифференцируем это равенство по x, затем по y:
.
По определению плотности распределения вероятностей двумерной и одномерной случайной величины, получаем:
Теперь докажем достаточность. Пусть выполняется равенство:
Проинтегрируем это равенство по x, затем по y:
А это то же самое, что На основании теоремы это и озачает, что – независимы.
Так как приведённые выше условия являются необходимыми и достаточными, то можно дать новые определения независимых случайных величин.
Определение: Две случайные величины называются независимыми, если функция распределения вероятностей соответствующей двумерной случайной величины равна произведению функций распределения вероятностей ее компонент.
Определение: Две непрерывные случайные величины называются независимыми, если плотность совместного распределения вероятностей соответствующей двумерной случайной величины равна произведению плотностей распределения вероятностей ее компонент.