4. Совместное распределение случайных величин.

При исследовании случайных явлений часто приходится рассматривать одновременно несколько случайных величин. Их совокупность можно представить как многомерную случайную величину. Будем обозначать через (X,Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин Х и Y называют составляющей (компонентой) двумерной случайной величины. Обе величины, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично определяют n-мерную случайную величину.

Пример: Станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина Х и ширина Y, то имеем двумерную случайную величину (Х,Y); если же контролируется еще и высота Z, то имеем трехмерную величину (Х,Y,Z).

Целесообразно различать дискретные (компоненты дискретны) и непрерывные (компоненты непрерывны) многомерные случайные величины. Если же одни компоненты дискретны, а другие – непрерывны, то мы имеем дело с многомерной случайной величиной смешанного типа.

4.1. Закон распределения двумерной случайной величины.

Закон распределения двумерной случайной величины дискретного типа можно задать таблицей совместного распределения Х и Y:

Y \ Х			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

В таблице перечислены всевозможные значения Y, Х и вероятности их совместного появления:

i= , j=

Данный закон также можно задать с помощью функции совместного распределения Х и Y.

Определение: Функцией распределения двумерной случайной величины (Х, Y) или функцией совместного распределения Х и Y называется функция F(x,y), определяющая для каждой пары чисел х и у вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее, чем у:

F(x,y) = P (X < x, Y < y).

Геометрически F(x,y) – вероятность того, что случайная точка (X,Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х,у), расположенный левее и ниже этой вершины.

Y (x,y)

0 X

Рассмотрим основные свойства функции совместного распределения:

Свойство 1: Функция совместного распределения неотрицательна и не превышает единицы, т.е. 0 ≤ F (x,у) ≤ 1.

Свойство 2: Функция совместного распределения – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е:

F ( , y) ≥ F ( , y) при > ;

F (x, ) ≥ F (x, ) при > .

Свойство 3: Для функции совместного распределения справедливы равенства:

F (-∞; у) = 0; F (x; -∞) = 0; F (-∞; -∞) = 0; F (+∞; +∞) = 1.

Свойство 4: При у = +∞ функция совместного распределения становится функцией распределения составляющей Х:

F (x, ∞) = (x).

При х = +∞ функция совместного распределения становится функцией распределения составляющей Y:

F(+∞;у) = (у).

Если мы имеем дело с непрерывной двумерной случайной величиной, то, помимо функции совместного распределения, ее можно задать с помощью плотности совместного распределения.

Определение: Плотностью совместного распределения вероятностей f(х,у) непрерывной двумерной случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

f(x,y)= .

Геометрически эту функцию можно истолковать, как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в произвольную область D вычисляют по формуле:

Р( (Х,Y) ϵ D) = dхdу,

где f(x,y) – плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины. Выражение f(x,y)dxdy называется элементом вероятности.

Зная плотность совместного распределения вероятностей f(x,y) непрерывной двумерной случайной величины, можно вычислить функцию совместного распределения вероятностей F(x,y) этой величины по формуле:

F(x,y) = f (x,y)dxdy.

Рассмотрим основные свойства плотности совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины.

Свойство 1: Плотность совместного распределения неотрицательна:

f(x,y) ≥ 0.

Свойство 2: Справедливо равенство:

Свойство 3: Зная плотность совместного распределения двумерной случайной величины (Х,Y), можно найти плотности распределения и функции распределения отдельных компонент Х и Y по формулам:

; ;

;