2.2.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью другой функции (кроме функции распределения), которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности.

Определение: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(x) –первую производную от функции распределения F(x):

График плотности распределения называют кривой распределения.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

Доказательство: Воспользуемся следствием 1, вытекающим из второго свойства функции распределения вероятностей:

По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Так как для непрерывной случайной величины справедлива формула , то теорема доказана.

С геометрической точки зрения вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности распределения:

f(x)

S

a b X

Заметим, что если f(x) – четная функция, и концы интервала симметричны относительно начала координат, то получаем упрощенную формулу:

Пример: Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:

_{Требуется найти P(0,5< X <1).}

_{Решение: По теореме получаем:}

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле:

Выведем эту формулу. Для этого воспользуемся определением функции распределения:

Как известно,

Полагая a = - , b = x, имеем :

Таким образом,

Заметим, что более корректной будет запись:

Пример: По условию предыдущего примера найдём функцию распределения F(x).

_{Решение: Так как плотность распределения – кусочная функция, то и функция распределения также будет кусочной функцией.}

Окончательно получаем:

Рассмотрим основные свойства плотности распределения:

Свойство 1: Плотность распределения – неотрицательная функция:

f(x) 0.

Доказательство: Функция распределения F(x) – неубывающая функция, следовательно, ее производная – функция неотрицательная.

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен единице:

Доказательство: Несобственный интеграл

выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( . Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, его вероятность равна 1.

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции под графиком плотности распределения по бесконечному промежутку равна единице.

f(x)

S

X

S = 1.

Заметим, что плотность распределения непрерывной случайной величины называют также законом распределения этой величины.

Рассмотрим вероятностный смысл плотности распределения.

Пусть F(x) – функция распределения непрерывной случайной величины X .

По определению плотности распределения, имеем:

где l – длина интервала (x; x+ x).

По аналогии с определением физической плотности

где F(х) – закон распределения массы, можно рассматривать значение х, как плотность вероятности в этой точке. Этот факт объясняет название «плотность».

Из дифференциального исчисления известно, что

Вывод: Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближённо равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ) произведению плотности вероятности в точке х и длины интервала .

С геометрической точки зрения вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближённо равна площади прямоугольника с основанием и высотой

f(x) C

A B

S

x x+Δx X

лощадь прямоугольника, приближенно равная площади криволинейной трапеции. Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольника АВС.