МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

инженерно-экономический университет»

С.Е.Игнатова теория вероятностей

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2011

УДК 519.2

ББК 22.172я73

И70

Утверждено редакционно-издательским советом сПбГиэу

в качестве учебного пособия по спец. 080116

Рецензенты:

Кафедра Математической теории экономических решений

ф-та ПМ-ПУ СПбГУ (зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук,

проф. В.В. Колбин),

д-р физ.-мат. наук, проф. И.Е. Погодин (ВМИИ),

к-т физ.-мат. наук, проф. М.М. Галилеев (СПбГИЭУ)

Игнатова с.Е.

И26 Теория вероятностей: учеб. пособие / С.Е. Игнатова. – СПб.: СПбГИЭУ, 2011. – 142 с.

ISBN

В учебном пособии рассмотрены основные понятия и методы теории вероятностей: правила действия со случайными событиями и вероятностями их осуществления; случайные величины и законы распределения вероятностей; закон больших чисел и центральная предельная теорема; совместное распределение случайных величин; последовательности, образующие цепь Маркова.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 080116 – математические методы в экономике, изучающих дисциплину «Теория вероятностей».

УДК 519.2

ББК 22.172я73

ISBN

© СПбГИЭУ, 2011

Содержание:

Предисловие………………………………………………………...6

Введение…………………………………………...……….………..7

Краткая историческая справка………………………………….9

1. Правила действия со случайными событиями и

вероятностями их осуществления…………………...………....10

1.1. Предмет теории вероятностей……………………………...10

1.2. Основные формулы комбинаторики.………………….….12

1.3. Испытания и события……………………….…….………...15

1.4. Виды случайных событий…………………………………..16

1.5. Классическое определение вероятности……….………….18

1.6.Статистическая вероятность………………………………..21

1.7. Геометрическая вероятность……………………………….23

1.8. Аксиоматика А.Н. Колмогорова…..……………………….24

1.9. Алгебра событий………………………………..…...……….25

1.10. Теоремы сложения и умножения вероятностей……..….27

1.11. Условные вероятности, независимость событий и экспериментов…………………………………………………….…..…29

1.11.1. Теоремы умножения вероятностей..………….….……..29

1.11.2. Формула полной вероятности……………...…………...34

1.11.3. Вероятность гипотез. Формула Байеса……………..…36

1.11.4. Схема независимых испытаний (Схема Бернулли)….37

2. Случайные величины и законы распределения

вероятностей…………………………………………….………...42

2.1. Виды случайных величин…………………………………..42

2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины…………………………………………………………..44

2.2.1.Функция распределения вероятностей случайной величины.……………..………...……………………………………….46

2.2.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.…………………………………………….52

2.3. Основные числовые характеристики случайных

величин………………………………………………………...…...58

2.3.1. Математическое ожидание……………………………..…59

2.3.2. Дисперсия…………………………………………………...70

2.3.3. Среднее квадратическое отклонение……………………78

2.3.4. Мода и медиана……………………………………………..80

2.4. Производящие функции моментов……………………..….81

2.5. Законы распределения вероятностей, наиболее распрост-

раненные в практике статистических исследований………..83

2.5.1. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины………………………………………...97

2.5.2. Вычисление вероятности заданного отклонения……...98

2.5.3. Правило трёх сигм………………………………………....99

2.6. Последовательности случайных величин в дискретном вероятностном пространстве…………………………...….......100

3.Закон больших чисел и центральная предельная

теорема…………………………………………………..………..102

4.Совместное распределение случайных величин……...…...113

4.1.Закон распределения двумерной случайной величины..114

4.2. Вычисление основных числовых характеристик случайных величин Х и Y…………………………………….…………118

4.3.Условные распределения…………………………………...119

4.4.Зависимые и независимые случайные величины………122

4.5.Коэффициент корреляции двух случайных величин и его свойства…………………………………………….……………..124

4.6.Независимость и некоррелированность………………....127

4.7.Нормальный закон распределения на плоскости……….128

4.8. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадрати-ческой регрессии………………………………………...……....130

5.Последовательности, образующие цепь Маркова………...133

5.1.Равенство Маркова………………………………………….136

5.2. Финальные вероятности…………………………………...137

Заключение……………………….……………………………....141

Список литературы………………………………….………….142