6.2.Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком X извлечена повторная выборка объема n:

хi			…
			…

По данным выборки требуется оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию .

в качестве оценки будет приводить к систематическим ошибкам (занижать ), т.к. – смещенная оценка :

M( )=

Легко «исправить» так, чтобы её математическое ожидание было равно . Получаем исправленную дисперсию, которую обычно обозначают :

=

– несмещённая оценка генеральной дисперсии:

Вывод: В качестве оценки принимают исправленную дисперсию

Для оценки генерального среднего квадратического отклонения используют «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение _:

_.

S не является несмещённой оценкой.

Заметим, что при достаточно больших значениях n объёма выборки выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия отличаются мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если, примерно, n < 30.

7.Законы распределения выборочных характеристик в нормальной генеральной совокупности.

Распределение выборочных характеристик (статистических оценок) в большинстве случаев достаточно точно описывается такими законами распределения, как нормальный, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора. Распределение по нормальному закону достаточно подробно изучается в дисциплине «Теория вероятностей», рассмотрим другие распределения. Но сначала узнаем, что означает число степеней свободы.

7.1.Число степеней свободы.

Если в пространстве движется материальное тело, то его положение характеризуется шестью степенями свободы (шестью координатами), три из которых определяют положение центра масс тела и три служат для определения поворота тела относительно центра масс.

По аналогии, любая композиция k независимых случайных величин , в частности сумма, имеет k степеней свободы, так как каждая составляющая может менять своё значение независимо от других значений.

Различные независимые измерения одной и той же величины можно рассматривать как различные случайные величины с числом степеней свободы, равным числу измерений.

Так, например, последовательность измерений , или их сумма имеет k степеней свободы. Точно так же и сумма квадратов этих величин имеет k степеней свободы.

Однако если для рассмотренной системы случайных величин задана некоторая связь, то количество степеней свободы уменьшается.

Пример: 1) Случайная величина имеет k степеней свободы ( – сумма независимых случайных измерений).

2) Cлучайная величина будет иметь уже на одну степень свободы меньше, так как здесь фиксировано и связывает случайные величины .

7.2.Распределение хи-квадрат.

Определение: Пусть – независимые, нормально распределённые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и _{единичными средними квадратическими отклонениями. Тогда закон распределения суммы квадратов случайных величин} называется законом хи-квадрат с степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины имеет вид:

где – гамма-функция, для которой выполняется равенство !

Для случайной величины плотность распределения имеет вид:

Заметим, что если величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы равно .

Распределение определяется одним параметром – числом степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение неизменно приближается к нормальному.