3.Статистическое оценивание параметров.

Статистические методы не позволяют точно вычислить неизвестные параметры теоретического распределения, они могут лишь оценить эти параметры.

Определение: Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых значений изучаемого признака.

Например, для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция (среднее арифметическое наблюдаемых значений признака) =(x₁+x₂+…x_n)/n.

Статистические оценки бывают точечными или интервальными. Сначала рассмотрим точечные статистические оценки и их свойства.

4.Точечные оценки и их свойства (несмещенность, состоятельность и эффективность).

Определение: Несмещённой называют статистическую оценку θ*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру θ при любом объёме выборки, т.е. M(θ*)= θ.

Определение: Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Определение: Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объёме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Определение: Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру:

Например, если дисперсия D(X) несмещённой оценки при n→∞ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Пусть θ* – статистическая оценка неизвестного параметра θ теоретического распределения. По выборке объема n найдена оценка θ*₁. Извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объёма n и по её данным найдем оценку θ*₂. Повторяя опыт многократно, получим числа θ*₁, θ*₂,…. θ*_к .

Таким образом, оценку θ* можно рассматривать как случайную величину, а числа θ*₁, θ*₂, …, θ*_к – как её возможные значения.

5.Основные выборочные характеристики и их свойства.

5.1.Генеральная и выборочная средние.

Пусть для изучения дискретной генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объёма n.

Определение: Выборочной средней называют среднее арифметическое значений изучаемого признака выборочной совокупности.

Если все значения признака х₁, х₂,… х_n выборки объёма n различны, то

=

Если же значения признака х₁, х₂, …, х_k имеют соответственно частоты n₁, n₂,…., n_k , причём n₁+n₂+…+n_k = n, то

= = ,

т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака Х с весами, равными соответствующим частотам.

Аналогично определяется генеральная средняя.

Определение: Генеральной средней называют среднее арифметическое значений изучаемого признака генеральной совокупности.

Если все значения признака х₁, х₂,…, х_N генеральной совокупности объёма N различны, то

= .

Если же значения признака х₁, х₂,…, х_k имеют соответственно частоты N₁, N₂, ... , N_k, причем N₁ + N₂ +…+ N_k = N, то

= = .

Существуют и другие средние характеристики:

Средняя гармоническая:

.

Средняя степенная:

.

Средняя квадратическая:

.

Средняя геометрическая:

Заметим, что средние величины связаны неравенством:

_.