13.2.2.Связь между общей, факторной и остаточной суммами.

Выведем важную формулу:

.

Для упрощения вывода ограничимся двумя уровнями (p=2) и двумя испытаниями на каждом уровне (q=2). Результаты испытаний (измерений) представим в виде таблицы:

Номер испытания	Уровни фактора
i	F1	F2
1 2

Тогда имеем:

.

Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению на первом уровне групповую среднюю , а на втором .

Выполнив возведение в квадрат, и, учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю, получаем:

,

где и т.д.

Тогда, имеем:

.

Что и требовалось доказать.

Следствие: .

13.2.3.Общая, факторная и остаточная дисперсии.

Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получим общую, факторную и остаточную дисперсии:

, , ,

где p – число уровней фактора,

q – число наблюдений на каждом уровне,

(pq – 1) – число степеней свободы общей дисперсии,

(p – 1) – число степеней свободы факторной дисперсии,

p(q –1) – число степеней свободы остаточной дисперсии.

Факторная дисперсия зависит от p составляющих и является смещенной оценкой.

Формула для несмещенной оценки факторной дисперсии:

Остаточная дисперсия зависит от т.е. от pq составляющих, следовательно, для несмещенной остаточной дисперсии получаем формулу:

Здесь число степеней свободы по сравнению с pq уменьшено на p, т.к. в каждой группе за счет групповой средней число степеней свободы уменьшается на единицу.

Если нулевая гипотеза о равенстве средних справедлива, то все эти дисперсии являются несмещенными оценками генеральной дисперсии.

Например, учитывая, что объем выборки , заключаем, что исправленная выборочная дисперсия (которая, как известно, является несмещенной оценкой генеральной дисперсии) равна:

Заметим, что число степеней свободы остаточной дисперсии равно разности между числами степеней свободы и факторной дисперсией.

Действительно: .

13.2.4.Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа.

Поставим задачу: Проверить при заданном уровне значимости нулевую гипотезу о равенстве нескольких средних нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями.

Покажем, что решение этой задачи сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера-Снедекора.

Пусть нулевая гипотеза о равенстве средних (далее будем называть их групповыми) справедлива. В этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генеральной дисперсии, и, следовательно, различаются незначительно. Если сравнить эти оценки по критерию F, то, очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних правильна, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних ложна. В этом случае с возрастанием расхождения между групповыми средними увеличивается факторная дисперсия, а вместе с ней и величина

В итоге окажется больше и, следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних ложна, то ложна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Легко доказать от противного справедливость обратных утверждений: из правильности (ложности) гипотезы о дисперсиях следует правильность (ложность) гипотезы о средних.

Вывод: Для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

В этом и состоит метод дисперсионного анализа.

Заметим, что если то справедлива гипотеза о равенстве групповых средних а, значит, нет надобности прибегать к критерию .

Если нет уверенности в справедливости предположения о равенстве дисперсий рассматриваемых р совокупностей, то это предположение следует проверить предварительно, по другому критерию.

Пример: Произведено по четыре испытания на каждом их трех уровней. Результаты приведены в таблице. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

i	F1	F2	F3
1 2 3 4	51 52 56 57	52 54 56 58	42 44 50 52
	54	55	47

Решение: Составим расчетную таблицу. Пользуясь таблицей, и, учитывая что число уровней фактора р = 3, число испытаний на каждом уровне q = 4, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений.

i	F1		F2		F3
1	51	1	52	0	42	100
2	52	0	54	4	44	64
3	56	16	56	16	50	4
4	57	25	58	36	52	0
	54	-	55	-	47	= 52
	4	-	9	-	25

= 226,

= 4 (4 + 9 + 25) = 152,

=266 – 152 = 144,

= 76,

Теперь сравним факторную и остаточную дисперсии по критерию F:

Учитывая, что число степеней свободы числителя , а число степеней свободы знаменателя и уровень значимости α = 0,05, по таблице находим критическую точку:

Так как > гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние «в целом» различаются значимо. Если требуется сравнить средние попарно, то следует воспользоваться критерием Стьюдента.