13.1.6.Свойства выборочного корреляционного отношения.

Выборочное корреляционное отношение обладает теми же свойствами, что и . Поэтому рассмотрим , которое далее, для упрощения записи, будем обозначать и, для простоты речи, называть «корреляционным отношением».

Свойство 1: Корреляционное отношение удовлетворяет неравенству 0 .

Доказательство: , т.к. .

Докажем, что

Разделим обе части этого равенства на :

1 = +

1= +

Т.к. оба слагаемых неотрицательны и их сумма равна 1, то каждое из них не превышает 1, т.е., в частности, η² ≤ 1.

Итак, 0 ≤ η ≤ 1.

Свойство 2: Если η = 0, то признак Y с признаком X корреляционной зависимостью не связан.

Доказательство: η = _. = 0. А это означает, что σ_межгр= 0, следовательно, D_межгр = 0.

Межгрупповая дисперсия есть дисперсия условных (групповых) средних _x относительно общей средней .

Тот факт, что D_межгр = 0 означает, что при всех значениях X условные средние сохраняют постоянное значение, равное общей средней. Т.е. при η = 0 условная средняя не является функцией от X, а значит, признак Y не связан корреляционной зависимостью с признаком X.

Заметим, что можно доказать и обратное: если признак Y не связан с признаком X корреляционной зависимостью, то η = 0.

Свойство 3: Если η =1, то признак Y связан с признаком X функциональной зависимостью.

Доказательство: По условию, η = = 1. Это означает, что σ_общ.= σ_межгр , возводя обе части этого равенства в квадрат, получим:

D_общ. = D_межгр. (1)

Т.к. D_общ. = D_внгр.+ D_межгр., то, в силу формулы (1), имеем:

D_внгр.= 0 (2)

Поскольку внутригрупповая дисперсия есть среднее арифметическое групповых дисперсий (взвешенное по объемам групп), то из формулы (2) следует, что дисперсия каждой группы (т.е. значений Y, соответствующих определенному значению X) равна нулю. А это означает, что в группе содержатся разные значения Y, т.е. каждому значению X соответствует одно значение Y. Следовательно, при η = 1 признак Y связан с признаком X функциональной зависимостью.

Заметим, что можно доказать и обратное: если признаком Y связан с признаком X функциональной зависимостью, то η =1.

Приведем еще два свойства, опустив доказательства.

Свойство 4: η ≥ | |.

Свойство 5: Если η = | |, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

Другими словами, если η = | |, то точки (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n) лежат на прямой линии регрессии, найденной методом наименьших квадратов.

При определении корреляционного отношения форма связи не принималась во внимание, отсюда вытекает его достоинство и недостаток.

Достоинство: η служит мерой тесноты связи любой формы, в том числе и линейной.

Недостаток: η не позволяет судить о том, насколько близко расположены точки, найденные по данным наблюдений, к кривой определенного вида, например к параболе, гиперболе и других.

13.1.7.Простейшие случаи криволинейной корреляции.

Определение: Если график регрессии = ƒ(x) или _у = φ(y) изображается кривой линией, то корреляцию называют криволинейной.

Например, функции регрессии Y на X могут иметь вид:

= ax² + bx + c – параболическая корреляция второго порядка;

= ax³ + bx² + cx + d – параболическая корреляция третьего порядка.

Для того чтобы определить вид функции регрессии строят точки (x, ) и по их расположению делают заключение о примерном виде функции регрессии. При окончательном решении принимают во внимание особенности, вытекающие из сущности решаемой задачи.

Теория криволинейной корреляции решает те задачи, что и теория линейной корреляции (установление формы и тесноты корреляционной связи).

Рассмотрим параболическую корреляцию второго порядка. Предположим, что данные n наблюдений (выборка) позволяют считать, что имеет место именно такая корреляция. В этом случае выборочное уравнение регрессии Y на X имеет вид:

=Ax² + Bx + C (1),

где A, B, C – неизвестные параметры.

Пользуясь методом наименьших квадратов, получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров (предлагаем вывести ее самостоятельно):

(2)

Найденные из системы (2) параметры A, B, C подставляем в формулу (1), в итоге получаем искомое уравнение регрессии.

Пример: Найти выборочное уравнение регрессии Y на X вида = Ax² + Bx + C по данным корреляционной таблицы.

Y \ X	1	1,1	1,2
6	8	2	-	10
7	-	30	-	30
7,5	-	1	9	10
	8	33	9
	6	6,95	7,5

Решение: Составим расчетную таблицу.

1	8	6	8	8	8	8	48	48	48
1,1	33	6,95	36,3	39,93	43,93	48,32	229,35	252,3	277,5
1,2	9	7,5	10,8	12,96	15,55	18,66	67,5	81	97,2
	50	-	55,1	60,89	67,48	74,98	344,85	381,3	422,7

Подставив числа (суммы) нижней строки таблицы в систему (2), получим:

Решив эту систему, получаем: A = 1,94; В = 2,98; С = 1,1. Тогда искомое уравнение принимает вид:

= 1,94x² + 2,98x + 1,1.

Например, при x₁=1 найдем по таблице = 6, а по уравнению =1,94 + 2,98 + 1,1 = 6,02.

Таким образом, найденное уравнение хорошо согласуется с данными выборки.