- •С.Е.Игнатова математическая статистика
- •Санкт-Петербург
- •Утверждено редакционно-издательским советом сПбГиэу
- •Игнатова с.Е.
- •Содержание:
- •Предисловие
- •Введение
- •1.Генеральная совокупность, выборка и основные способы организации выборки.
- •2.Вариационный ряд и порядковые статистики.
- •3.Статистическое оценивание параметров.
- •4.Точечные оценки и их свойства (несмещенность, состоятельность и эффективность).
- •5.Основные выборочные характеристики и их свойства.
- •5.1.Генеральная и выборочная средние.
- •5.2.Групповая и общая средние.
- •5.3.Отклонение от общей средней и его свойство.
- •5.4.Генеральная и выборочная дисперсии.
- •5.5.Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии.
- •5.6.Сложение дисперсий.
- •6.Основные точечные оценки.
- •6.1.Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних.
- •6.2.Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
- •7.Законы распределения выборочных характеристик в нормальной генеральной совокупности.
- •7.1.Число степеней свободы.
- •7.2.Распределение хи-квадрат.
- •7.3.Распределение Стьюдента.
- •7.4.Распределение Фишера-Снедекора.
- •8.Интервальные оценки и доверительные области.
- •8.1.Оценка вероятности (биноминального распределения) по относительной частоте.
- •8.2.Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.
- •8.3.Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.
- •9.Байесовское статистическое оценивание.
- •10.Статистическая проверка гипотез: основные типы гипотез и общая логическая схема статистического критерия; характеристики качества критерия.
- •10.1.Общая логическая схема статистического критерия
- •10.2.Характеристики качества критерия.
- •11.Критерии согласия и однородности, проверка гипотезы о числовых значениях параметров.
- •11.1.Критерий однородности.
- •Например, рассмотрим непараметрический критерий сдвига.
- •11.2.Критерий согласия.
- •11.3.Методика вычисления теоретических частот нормального распределения:
- •11.4.Пример обработки массива статистических данных.
- •11.5.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •12.Неравенство информации, метод максимального правдоподобия и метод моментов.
- •12.1.Метод максимального правдоподобия
- •12.2.Неравенство информации
- •12.3.Эмпирические моменты
- •12.4.Метод моментов.
- •13.Основы статистического исследования зависимостей.
- •13.1.Регрессионный анализ.
- •13.1.1.Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии по несгруппированным данным.
- •13.1.2.Выборочный коэффициент корреляции.
- •13.1.3.Корреляционная таблица.
- •13.1.4.Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии по сгруппированным данным.
- •13.1.5.Выборочное корреляционное отношение.
- •13.1.6.Свойства выборочного корреляционного отношения.
- •13.1.7.Простейшие случаи криволинейной корреляции.
- •13.1.8.Понятие о множественной корреляции.
- •13.2.Дисперсионный анализ.
- •13.2.1.Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений
- •13.2.2.Связь между общей, факторной и остаточной суммами.
- •13.2.3.Общая, факторная и остаточная дисперсии.
- •13.2.4.Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа.
- •13.2.5.Неодинаковое число испытаний на различных уровнях фактора.
- •Заключение
- •Список литературы:
- •Сведения об авторе
10.2.Характеристики качества критерия.
Определение: Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива альтернативная гипотеза.
Другими словами, мощность критерия – это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна альтернативная гипотеза.
Пусть для проверки гипотезы принят определенный уровень значимости критерия α и выборка имеет фиксированный объем.
Остается произвол в выборе критической области. Покажем, что её целесообразно построить так, чтобы мощность критерия была максимальной.
Предварительно убедимся, что если вероятность ошибки второго рода (принять неправильную гипотезу) равна β, то мощность равна (1 – β).
Действительно, если β – вероятность события «принята нулевая гипотеза, причем справедлива альтернативная гипотеза», то мощность критерия равна (1 – β).
Пусть мощность (1 – β) возрастает. Тогда уменьшается вероятность β совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем мощность больше, тем вероятность ошибки второго рода меньше.
Вывод: Если уровень значимости уже выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования обеспечивает минимальную ошибку второго рода.
Мощность критерия – это вероятность того, что не будет допущена ошибка второго рода.
Заметим, что чем меньше вероятность ошибок 1-го и 2-го рода, тем критическая область «лучше». Однако, при заданном объеме выборки уменьшить одновременно α и β невозможно. Если уменьшить α, то β будет возрастать. Следует выбирать α в зависимости от «тяжести последствий» ошибок для каждой конкретной задачи. Например, если ошибка 1-го рода повлечёт большие потери, а 2-го рода – малые, то следует выбрать возможно меньшее α.
Если α уже выбрано, то можно построить критическую область, для которой β будет минимальным и, следовательно, мощность критерия будет максимальной.
Единственный способ одновременного уменьшения вероятности ошибок 1-го и 2-го рода состоит в увеличении объема выборки.
11.Критерии согласия и однородности, проверка гипотезы о числовых значениях параметров.
11.1.Критерий однородности.
Определение: Критерий однородности – это критерий проверки гипотез о том, что две (или более) выборки взяты из одного распределения вероятностей.
Рассмотрим такую классификацию критериев:
Параметрические критерии однородности;
Непараметрические (свободные от распределения) критерии однородности.
Непараметрические (свободные от распределения) критерии однородности не предполагают присутствие какой-либо фундаментальной информации о законе распределения. Любое распределение можно описать параметром положения, характеризующим центр группирования случайных величин, и параметром масштаба, характеризующим степень рассеяния случайных величин относительно центра группирования. Когда закон распределения неизвестен, гипотезы о параметрах проверяются при помощи специальных критериев сдвига и масштаба. Также существуют двухвыборочные критерии согласия.