9.4.3. Рекуррентные методы построения математических моделей

технологических процессов

Рассмотренные выше регрессионные методы идентификации многофакторных объектов, помимо очевидного ограничения, состоящего в пригодности лишь для тех объектов, которые, так или иначе, можно привести к статическому виду, обладают ещё одним общим недостатком. Он состоит в том, что при желании учесть новые экспериментальные данные приходится заново определять весь вектор параметров модели, т.е. фактически заново строить всю модель по расширенному массиву экспериментальных данных. Если же объект характеризуется временным дрейфом параметров, и его не удается свести к дрейфу свободного члена модели, то регрессионные методы в этом случае вообще непригодны.

В этих случаях целесообразно использовать последовательные рекуррентные методы идентификации [17, 18].

Рассмотрим динамический объект, у которого каждая составляющая вектора выходных величин в любой момент времени t описывается уравнением:

y(t) = a₀(t)+a₁(t)x₁(t)+a₂(t)x₂(t)+…+a_k(t)x_k(t) , (9.40)

или в векторной форме

y(t) = X (t) A(t) ; (9.41)

где: X (t) = [x₁(t), x₂(t), …, x_k(t)];

A (t) = [a₀(t), a₁(t), a₂(t), … , a_k(t)] .

Отличие данной модели от регрессионных моделей, использовавшихся выше, состоит в том, что не только выходная y(t) и входные величины x_j(t) являются функциями времени, но и коэффициенты модели (причём не только нулевой, но и все остальные) также являются функциями времени. Неизменным во времени является только сам вид модели. Если моделируемый объект (технологический процесс) является многостадийным, то в уравнении (9.40) следует учесть временные лаги, аналогично тому, как это делалось в (9.39). Переходя к дискретным отсчётам всех переменных в моменты времени t_i (i = 1, 2, …, N) и для простоты опуская отображение временных лагов, получаем следующую матрицу наблюдений

y (t₁) x₁(t₁) x₂(t₁) … x_k(t₁)

y(t₂) x₁(t₂) x₂(t₂) … x_k(t₂) (9.42)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y(t_N) x₁(t_N) x₂(t_N) … x_k(t_N)

Её можно разделить на вектор-столбец измеренных значений выходной величины

y(t₁)

Ŷ = y(t₂) (9.43)

. . . .

y(t_N)

и матрицу измеренных значений входных величин

x₁(t₁) x₂(t₁) … x_k(t₁)

Х_N = x₁(t₂) x₂(t₂) … x_k(t₂) . (9.44)

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

x₁(t_N) x₂(t_N) … x_k(t_N)

Длительность окна наблюдений должна быть достаточна, чтобы временные зависимости коэффициентов модели успели себя проявить. В этом случае, если строить по этим данным регрессионную модель, используя обычный критерий наименьших квадратов погрешностей оценок коэффициентов модели, то мы получим постоянные значения коэффициентов, отображающие усреднённые за время длительности окна наблюдения оценки влияния каждого из учитываемых факторов. Соответственно, даже для любого момента времени внутри окна наблюдения эта модель окажется неточной, а её прогностическая способность (для будущих моментов времени) будет крайне низкой. Это объясняется тем, что при изменении во времени параметров модели ценность наблюдений, по которым определяются эти параметры, убывает по мере их «старения». Это «старение» данных наблюдений можно отобразить, добавив к обычному критерию наименьших квадратов функцию, определяющую убывание ценности получаемых данных во времени:

; (9.45)

где: γ – параметр, характеризующий скорость «старения» данных (убывания их ценности), который может принимать значения 0≤γ≤1;

i, N – промежуточный и последний номера отсчётов.

Чтобы использовать этот критерий, необходимо сформировать матрицу

. (9.46)

Тогда критерий, учитывающий убывание ценности отсчётов во времени, будет иметь вид:

L = [Ŷ_N – X_N Â(t_N)]^T Ф_N [Ŷ_N – X_N Â(t_N)] . (9.47)