9.2.2. Диаграмма разброса и её использование для определения корреляционной связи между двумя параметрами

Простейшим и наиболее наглядным средством обнаружения зависимости между двумя параметрами, представленной полученными с помощью эксперимента (активного или пассивного) данными, является диаграмма разброса. С помощью диаграмм разброса обычно исследуются зависимости между выходным параметром и одним из входных, но могут исследоваться и взаимосвязи между двумя входными параметрами. Для построения диаграммы разброса между двумя величинами X и Y по результатам наблюдений, содержащих n попарных значений х_i и y_i обычно определяют диапазоны вариаций этих величин x = х_max – x_min и y = y_max – y_min. Округляя х_max и y_max до ближайших больших значений, кратных 1, 2, 5 или 10, а х_min и y_min – до ближайших меньших значений, тоже кратных тем же числам, а затем, откладывая по оси абцисс значения х_i, а по оси ординат – y_i, строят в плоскости x-y множество n точек, соответствующих парам x_i – y_i . По расположению точек на диаграмме можно судить о наличии взаимозависимости между этими величинами, характере этой зависимости (линейная, нелинейная) и тесноте связи или величине разброса (см. рис. 9.2.).

Основными недостатками этого метода является возможность лишь качественной оценки тесноты связи между изучаемыми параметрами и величины разброса, а также трудность использования диаграмм разброса при большом количестве взаимодействующих факторов. Последнее обстоятельство требует пояснения. Дело в том, что если величина Y зависит не от одного, а от многих параметров х_j (j = 1,2,3,…,N) и нет возможности в процессе эксперимента варьировать их поочередно, то есть все они изменяются одновременно и независимо друг от друга, то мы, хотя и можем построить диаграммы разброса (поле корреляции) параметра Y с каждым из влияющих на него параметров X_j, однако, судить по ним о наличии, характере и тесноте связи с данным параметром затруднительно, так как одновременное воздействие на параметр Y других параметров X_k (k  j) размывает эту связь и увеличивает степень разброса.

9.2.3. Исследование взаимосвязи между технологическими параметрами с помощью корреляционного и регрессионного анализа

В силу указанных недостатков диаграммы разброса редко применяются как самостоятельный инструмент исследования. Чаще всего их используют совместно с корреляционным и регрессионным анализом, что позволяет в значительной мере устранить указанные выше недостатки.

В самом деле, если между параметрами Y и X имеет место статистическая линейная зависимость, то тесноту статистической связи можно численно оценить величиной парного коэффициента корреляции R_yx, а саму линейную зависимость определить уравнением регрессии

, (9.1)

где

, (9.2)

а

, (9.3)

где  – угол между линией регрессии и осью абсцисс (см. рис. 9.2.)

Уравнение регрессии, как следует из (9.2) и (9.3) определяется методом наименьших квадратов.

Величина парного коэффициента корреляции R_yx между параметрами Y и X определяется по формуле

. (9.4)

Коэффициент корреляции может принимать значения от 0, когда линейная зависимость полностью отсутствует до 1, когда имеет место функциональная линейная связь, то есть все экспериментальные точки ложатся на прямую регрессии. Причём положительным значениям соответствует прямо пропорциональная зависимость (угол  – положительный), отрицательным значениям – обратно пропорциональная зависимость (угол  – отрицательный).

В силу случайного разброса экспериментальных данных значения коэффициента корреляции R_yx практически никогда не бывают равными нулю, даже если X и Y – независимые случайные величины, представленные выборками ограничен-ного объёма. Поэтому необходим критерий, который бы позволял установить, случайно ли отклонение численного значения коэффициента корреляции от нуля или имеет место корреляционная связь между двумя исследуемыми величинами. Для этого используется критерий Стьюдента, который в данном случае рассчитывается следующим образом

. (9.5)

Вычисленное по (9.5) значение сравнивается с табличным значением t(Р, m) для выбранного значения доверительной вероятности Р (или риска ошибки  = = 1– Р) и числа степеней свободы m = n – 2.

Если неравенство (9.5) выполняется, то справедлива нулевая гипотеза, т.е. статистическая связь между величинами Y и X отсутствует, а коэффициент корреляции не равен нулю в силу ограниченности объёма и случайности выборочных данных. В противном случае статистическая зависимость между этими величинами имеет место.

Таким образом, подсчёт коэффициента корреляции и его проверка по t-кри-терию позволяют установить факт наличия линейной статистической зависимости между двумя произвольными параметрами и количественно оценить тесноту этой связи. А расчёт параметров уравнения регрессии позволяет определить наилучшую аналитическую аппроксимацию этой зависимости. Наилучшей она будет в том смысле, что сумма квадратов отклонений действительных, то есть экспериментально измеренных значений параметра Y, от значений, рассчитанных по уравнению регрессии при подстановке в него соответствующих значений параметра Х, будет минимальной. Это означает, что любое другое линейное уравнение будет давать большую сумму квадратов отклонений, чем уравнение регрессии.

Однако следует помнить, что при этом остаются в силе два существенных ограничения. Во-первых, коэффициент корреляции объективно определяет тесноту именно линейной связи между двумя исследуемыми параметрами. Если эта связь будет нелинейной, то коэффициент корреляции не может служить объективной характеристикой степени тесноты этой связи. Он будет давать заниженную характеристику степени тесноты этой связи. Во-вторых, если имеет место многомерная зависимость, когда одновременно с исследуемым параметром на величину Y влияют и другие параметры, то парные коэффициенты корреляции величины Y c каждым из этих влияющих параметров не дают объективного представления о степени влияния каждого из них на параметр Y. Опять же они будут занижать степень тесноты этой связи по сравнению с той, которая была бы, если бы остальные параметры оставались неизменными.

Чтобы обойти первое ограничение, используют либо кусочно-линейную аппроксимацию выявленной статистической зависимости и тесноту связи характеризуют корреляционным отношением, либо применяют нелинейную (чаще всего полиномиальную) аппроксимацию исследуемой статистической зависимости, а тесноту связи в этом случае характеризуют остаточной дисперсией.

Чтобы обойти второе ограничение используют различные методы множественного статистического анализа.