9.4.2. Регрессионные методы построения математических моделей технологических процессов, приводимых к условно статическим

Регрессионные методы построения математических моделей можно применять к объектам, приводимым к условно статическим. Выше были рассмотрены несколько видов таких объектов. Именно для них и применяются регрессионные методы идентификации.

Идентификация объектов, статических для больших времён.

Если нас интересует зависимость выходных величин объекта от воздействующих на него факторов (входных величин) для установившихся состояний (т.е. по окончании переходных процессов), то для построения таких математических моделей могут быть использованы методы пассивного эксперимента при соблюдении единственного дополнительного условия – измерения выходных величин после любого изменения хотя бы одной из входных величин следует производить спустя определённый интервал времени, заведомо превышающий максимальную длительность переходного процесса. Поэтому предварительно необходимо исследовать переходные процессы в данном объекте. Во-первых, объект должен быть абсолютно устойчивым, т.е. переходные процессы после любых допустимых воздействий на объект должны оставаться затухающими. Во-вторых, необходимо определить максимальные длительности переходных процессов после любых допустимых воздействий (изменений входных величин). А далее уже можно использовать изложенные выше регрессионные методы построения математических моделей, соблюдая при этом вышеуказанное дополнительное условие. При активном эксперименте это выполнить очень просто – достаточно проводить измерения выходных величин спустя определённый интервал времени (заведомо превышающий максимальную длительность переходного процесса) после очередной установки входных величин. При пассивном эксперименте мы не управляем всеми входными величинами, а потому они могут изменяться в произвольные моменты времени, причём регистрация входных и выходных величин чаще всего производится автоматически, дискретно, через заранее заданные интервалы времени. Чаще всего интервал дискретизации существенно меньше максимальной длительности переходных процессов объекта. Однако, даже если он и превышает длительность переходных процессов, то это не даёт нам право считать все измерения достоверными. Действительно, изменения входных величин могут произойти и в промежуток времени между очередными отсчётами (в том числе и непосредственно перед очередным отсчётом), а значит, этот отсчёт зафиксирует значения выходных величин во время переходного процесса. Следовательно, он должен быть отброшен, и только следующий отсчёт можно считать достоверным. Если же максимальная длительность переходных процессов больше интервала дискретизации, то следует отбросить не один, а несколько отсчётов, чтобы суммарная длительность интервалов времени между ними оказалась больше максимальной длительности переходных процессов. Поэтому, при обработке результатов пассивного эксперимента, необходимо предварительно отследить все моменты изменений входных величин и отбросить соответствующие отсчёты выходных величин, приходящиеся на переходные процессы. После такой предварительной обработки экспериментальных данных можно в полном объёме применять регрессионные методы построения математических моделей для установившихся состояний объекта.

Идентификация объектов, статических для малых времён.

Применение классических регрессионных методов для построения математических моделей таких объектов возможно лишь в том случае, когда суммарное время экспериментальных исследований существенно меньше времени дрейфа параметров этой модели. В противном случае мы будем получать некие усреднённые модели для тех интервалов времени, в течение которых проводился эксперимент. Очевидно, что даже для любого момента времени внутри этого интервала времени такая модель окажется неточной, а её прогностическая способность (для будущих моментов времени) будет крайне низкой.

Общая идея использования регрессионных методов для построения математических моделей для таких объектов состоит в следующем. Поскольку регрессионные модели являются, в подавляющем большинстве случаев, полиномиальными, а любая полиномиальная модель содержит постоянную составляющую, выражаемую свободным членом полинома, то для объектов с временным дрейфом необходимо строить эти модели таким образом, чтобы этот дрейф отображался только изменением свободного члена модели, а удельное влияние каждого действующего на объект фактора, выражаемое коэффициентом при соответствующем члене полинома оставалось бы неизменным. Для построения таких моделей, очевидно, необходимо проводить несколько серий опытов. Длительность каждой такой серии по времени должна быть существенно меньше того интервала времени, на котором существенно проявляется временной дрейф, а интервалы времени между сериями должны быть больше его. Тогда, если действительно удельное влияние каждого учитываемого моделью фактора на выходную величину со временем не меняется, то по результатам каждой серии опытов мы будем получать полиномиальные модели одинакового вида, в которых постоянные коэффициенты при переменных от одной серии к другой изменяются незначительно, а основные отличия определяются значениями свободного члена моделей. Отследив зависимость от времени свободного члена, можно построить аппроксимирующую эту зависимость аналитическую временную функцию и, усреднив значения коэффициентов при переменных по всем полученным моделям и добавив уравнение, выражающее зависимость от времени свободного члена, мы получим общую математическую модель объекта, обладающую уже хорошими прогностическими свойствами для любых моментов времени. Сам дрейф, выражаемый временной функцией свободного члена может быть и монотонным, и периодическим (в последнем случае он чаще всего отображает суточные или сезонные ритмы, определяемые воздействием не учитываемых моделью факторов). Но при этом появляются две трудности. Первая из них связана с тем, что при уменьшении длительности окна наблюдения (для каждой серии) сужаются поля вариаций влияющих факторов, а значит, и выходных величин, что приводит к ухудшению прогностической способности соответствующих частных моделей, т.к. уменьшается величина области факторного пространства, для которой данная модель будет адекватной. Вторая трудность связана с отсутствием в классическом регрессионном анализе методов построения моделей, ортогональных к дрейфу, что может приводить к тому, что коэффициенты при соответствующих линейных членах в частных моделях, полученных по различным сериям, могут существенно различаться. Последнее приведёт к тому, что при усреднении этих коэффициентов по всем частным моделям общая модель будет менее точно определять влияние каждого фактора, чем частные модели, а точность определения дрейфа также будет снижаться даже для той же выборки данных.

Первую трудность можно до определенной степени обойти, если не делать длительных пауз между сериями наблюдений, а регистрировать данные исследуемого объекта непрерывно, на протяжении длительного времени, а затем «вырезать» из этой последовательности короткие «окна» в тех местах, где наблюдаются существенные вариации факторных признаков и по этим выборкам строить частные регрессионные модели.

Вторую трудность можно преодолеть путём использования методов факторного анализа по основным действующим факторам. Для этого определяют число общих факторов и соответствующие факторные нагрузки на каждый из них. Тогда оставшаяся часть общей дисперсии будет приходиться на смешанное влияние свободного члена и эффектов взаимодействий (включая квадраты факторов). Таким образом, используя факторный анализ, удаётся построить регрессионные модели ортогональные к дрейфу, а сам дрейф, как и в случае активного эксперимента, описывать самостоятельной временной функцией, определяющей свободный член модели. Другими словами, модель, определяющая влияние основных воздействующих факторов, остается статической, а весь динамизм системы описывается временной функцией дрейфа, по которой вычисляется свободный член модели.

Естественно, что такие модели могут применяться только к таким объектам, для которых влияние основных воздействующих на его состояние факторов остаётся неизменным во времени, а изменения его состояния во времени удаётся описать какой-то однозначной функцией времени.

Идентификация объектов с временным лагом.

Это объекты, в которых основной процесс состоит из дискретной или непрерывной последовательности нескольких качественно отличных стадий. На каждой такой стадии соответствующая часть объекта может характеризоваться своими множествами входных и выходных параметров, причём, выходные параметры предыдущей стадии являются входными для последующей (но не исчерпывают всё множество входных параметров для этой последующей стадии, т.е. к выходным параметрам предыдущей стадии могут добавляться новые параметры, являющиеся входными именно для этой стадии. Практически все многооперационные технологические процессы и соответствующие им технологические линии могут быть отнесены к таким объектам. Но, чтобы к нему можно было применить регрессионный метод построения модели, каждая его стадия (а значит, и соответствующая ей часть технологической линии) должна отвечать условию статичности, т.е. не обладать памятью относительно предыдущих значений входных параметров. Если пренебречь переходными процессами, то значительную часть реальных технологических процессов можно отнести к таким объектам.

Первой задачей экспериментального исследования таких объектов является, как раз, измерение этих временных лагов для каждой стадии основного процесса. Это сделать несложно, поскольку величина этих лагов определяется временем продвижения основного материального потока в соответствующем технологическом процессе от входа каждой стадии к её выходу и от предыдущей стадии к последующей.

В случае использования пассивных методов идентификации представляется возможность строить сразу общую регрессионную модель. Но для этого всё равно надо фиксировать все промежуточные переменные (т.е. выходные и входные величины для промежуточных стадий), а при построении регрессионной модели предварительно сгруппировать массивы измеренных данных по стадиям, введя для них соответствующий временной сдвиг.

В этом случае, строя независимые модели для каждой составляющей вектора выходных величин, для простейшей линейной модели получаем:

y(t+τ_y) = a₀+a₁x₁(t+τ₁)+a₂x₂(t+τ₂)+…+a_kx_k(t+τ_k); (9.39)

где: τ_у , τ₁, τ₂ ,… , τ_k – временные задержки (лаги), с которыми надо производить измерения соответствующих величин.

Выполнив эту операцию, мы искусственно совмещаем во времени все стадии, приводя весь объект к обычному многофакторному статическому объекту, у которого выходными величинами являются только выходные величины последней стадии, а все остальные регистрируемые величины являются входными. Сами временные сдвиги в матрице получаемых исходных данных, по которым строится регрессионная модель, не фиксируются. Поскольку при этом общее число входных факторов получается весьма большим, и многие из них оказываются тесно коррелированными друг с другом, то при построении таких моделей целесообразно использовать те итерационные последовательные процедуры наращивания мерности модели, которые были рассмотрены в п. 9.3.5.