6.4.6. Минимизация таблицы покрытий
После получения первоначальной таблицы покрытий целесообразно провести её минимизацию. Такая минимизация осуществляется по следующим правилам:
Если строка j в таблице покрытий не содержит ни одной единицы (пустая строка), то она должна быть удалена, поскольку данная элементарная проверка j не различает ни одной пары технических состояний из множества U.
Наличие сплошной строки j (единицы во всех столбцах) означает, что элементарная проверка j различает все пары технических состояний из множества U, то есть представляет собой минимальное покрытие таблицы, содержащее единственную элементарную проверку.
Если выделить столбцы таблицы, содержащие только по одной единице, то соответствующие строки образуют ядро, которое должно входить в каждое покрытие, поскольку соответствующие пары состояний различаются только одной единственной проверкой, входящей в ядро. Из совокупности столбцов, покрываемых строкой j, входящей в ядро, могут быть удалены все, кроме столбца l, относительно которого данная строка и вошла в ядро.
Наличие одинаковых строк означает, что соответствующие элементарные проверки различают одни и те же пары технических состояний, поэтому вместо них может быть оставлена только одна (любая из них) строка.
Если имеется 2 строки j и g , из которых одна строка содержит единицы во всех тех столбцах, где имеет единицы вторая строка и, кроме того, имеет хотя бы одну дополнительную единицу, то это означает, что данная элементарная проверка различает все те пары состояний, что и вторая проверка, и ещё одну или несколько пар состояний, поэтому первая строка называется поглощающей, а вторая – поглощаемой и из них нужно оставлять только поглощающую строку.
Наличие одинаковых (повторяющихся) столбцов означает, что соответствующие пары технических состояний различаются одними и теми же элементарными проверками, поэтому все повторяющиеся столбцы могут быть заменены любым из них. При необходимости в обозначении этого столбца отражаются все заменяемые им столбцы.
Аналогично строкам можно рассматривать поглощающие и поглощаемые столбцы и, соответственно, исключать из таблицы поглощаемые столбцы. При этом в обозначении поглощающих столбцов отражаются поглощаемые.
Рассмотрим составление и минимизацию таблицы покрытий на примере, который использовался выше при синтезе тестов по таблице состояний.
Мы имели электронное устройство, состоящее из трёх элементов. Если ограничиваться диагностированием только однократных и двукратных неисправностей, то число диагностируемых состояний равно 7 (восьмое соответствует случаю, когда все три элемента неисправны). Определим множество U пар состояний объекта диагностирования, которые должна различать система диагностики. Всего их будет
.
Таблица получается достаточно громоздкой и неудобной для обозрения. Чтобы сделать пример достаточно наглядным, исключим все состояния с двукратными неисправностями, поскольку их вероятности во много раз ниже вероятностей состояний с однократными неисправностями. Тогда у нас остаётся всего 4 диагностируемых состояния (одно исправное S1 и три неисправных S2, S3 и S4. Из них может быть образовано 6 пар состояний: U1 (S1S2), U2 (S1S3), U3 (S1S4), U4 (S2S3), U5(S2S4) и U6 (S3S4). Число элементарных проверок оставим тем же (равным 10). Стоимости элементарных проверок и вероятности различных состояний также оставим прежними. Если из табл. 6.2 отсечь состояния с двумя неисправностями, то останется следующая таблица состояний (см. табл. 6.6).
Таблица 6.6
Si πj |
S1 111 |
S2 110 |
S3 101 |
S4 011 |
Сj |
π1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
π 2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1,2 |
π 3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1,4 |
π 4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1,6 |
π 5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2,0 |
π 6 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2,4 |
π 7 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2,8 |
π 8 |
1 |
0 |
1 |
0 |
3,2 |
π 9 |
1 |
1 |
0 |
1 |
3,6 |
π 10 |
1 |
1 |
0 |
0 |
4,0 |
PSi |
0,9411 |
0,0291 |
0,0192 |
0,0095 |
|
Здесь появляются одинаковые строки π2 и π10 ; π4 и π5 ; π7 и π9. Оставляем из этих пар более дешёвые состояния π2 , π4 и π7. Оставшиеся строки перенумеровываем подряд. Из полученной усечённой таблицы легко получить таблицу покрытий, проставляя в клетках, соответствующих парам состояний, 1, если данная пара различается данной элементарной проверкой и, оставляя клетку пустой, если данная пара не различается. Вероятности пар состояний определяем как вероятности сложных событий в виде произведения вероятностей этих состояний. В итоге получим таблицу покрытий для нашего примера (табл. 6.7).
Воспользуемся правилами анализа и минимизации таблиц покрытий.
В таблице нет ни пустых строк, ни пустых столбцов, следовательно, все включённые в неё проверки информативны и, в совокупности, обеспечивают диагноз нужной глубины.
Сплошных строк нет, значит, ни одна из данных проверок в отдельности не способна обеспечить различения всех пар состояний.
Таблица 6.7
|
U |
Сj |
|
||||||
|
U1 (S1S2) |
U2 (S1S3) |
U3 (S1S4) |
U4 (S2S3) |
U5 (S2S4) |
U6 (S3S4) |
|
||
П |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1,2 |
|
|
3 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1,4 |
|
|
4 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1,6 |
|
|
5 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
2,4 |
|
|
6 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
2,8 |
|
|
7 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
3,2 |
|
|
PUi |
0,0274 |
0,0181 |
0,0089 |
0,0006 |
0,0003 |
0,0002 |
|
|
|
|
|
||||||||
Столбцов с одной единицей нет, следовательно, ядра теста нет.
Одинаковых строк и столбцов нет.
Поглощаемых строк нет.
Полученная таблица 6.7 представляет собой минимизированную таблицу покрытий. Тест, составленный из этих семи элементарных проверок, будет различать все пары состояний, но насколько он избыточен, сказать нельзя, пока не построен минимальный тест.