6.4.5. Построение таблицы покрытий и её аналитическое представление

Таблица покрытий строится по таблице состояний и отличается от неё только тем, что столбцы в ней образованы не самими состояниями, а всеми возможными парами состояний и, если любая конкретная пара состояний данной элементарной проверкой различается, то в соответствующей клетке таблицы ставится 1, если не различается – то 0. Всё множество пар состояний обозначим U, а любую конкретную пару U_i , i=1, 2, …, N. Таким образом, в каждой клетке этой таблицы (_j, U_i) проставим значения двоичной переменной a_ji , определяемые по правилу:

.

Для улучшения обозримости таблицы условимся нули в клетках таблицы не проставлять, оставляя их пустыми. Общий вид таблицы покрытий показан на рис. 6.6.

А		U
		U1	U2	…	Ui	…	UN
П	1	a11	a12		a1i		a1N
	2	a21	a22		а2i		a2N
	. . .
	j	aj1	aj2		aji		ajN
	. . .
	 п	aп1	aп2		aпi		апN

Рис. 6.5. Общий вид таблицы покрытий

Из сформулированных условий следует, что, если в каждой строке и в каждом столбце таблицы содержится хотя бы одна единица, то задача диагностирования окажется решённой.

Возьмём столбец U_i таблицы покрытий, найдём все её строки, для которых a_ji = 1, и объединим их в подмножество _i , а его элементы обозначим символами _ji , j=1, 2, …,n . Тогда условие, состоящее в том, что для различения состояний S_q и S_к достаточно любой одной элементарной проверки _jiП_i , можно представить дизъюнкцией двоичных переменных

, (6.9)

а условие различения каждой пары состояний U_iU хотя бы одной элементарной проверкой можно записать в виде конъюнкции U дизъюнкций выражений вида (6.9):

. (6.10)

Выражение (6.10) является логическим произведением логических сумм двоичных переменных _jl, представляющих собой входные воздействия на контролируемый объект, и поэтому обозначается формой ПС (или П) – «произведение сумм». Форма ПС является аналитическим представлением таблицы покрытий. С учётом правил логического сложения и умножения форма ПС может быть упрощена путём использования упрощений вида XX = X и X(XVY) = XY, где X и Y – отдельные переменные _jl или их дизъюнкции. Если раскрыть все скобки в исходной или сокращённой форме ПС, то будет получено выражение, представляющее собой логическую сумму логических произведений двоичных переменных _jl и называемое формой СП (или П). В процессе преобразования формы ПС в форму СП целесообразно производить такие же упрощения.

По построению каждая конъюнкция формы СП содержит хотя бы по одной переменной из каждой дизъюнкции формы ПС. Таким образом, каждая конъюнкция формы СП представляет своими переменными совокупность элементарных проверок _jП, среди которых для каждой пары состояний из U возможных найдётся хотя бы одна элементарная проверка, различающая эту пару. Любую такую совокупность будем называть покрытием таблицы покрытий. Они и будут представлять собой все возможные тесты, которые можно получить из данной таблицы покрытий. Очевидно минимальным (по числу элементарных проверок) покрытиям соответствуют те конъюнкции формы СП, которые содержат наименьшее число двоичных переменных _j. Это и будут минимальные тесты.

Таким образом, по таблице покрытий можно построить форму ПС, преобразовать её в форму СП (произведя при этом возможные упрощения) и получить все возможные и, в том числе, минимальные тесты.

Пример синтеза тестов данным методом рассмотрен в п. 6.4.7.