6.4.4. Синтез условных тестов с использованием таблицы состояний
Существует целый ряд методов синтеза условных алгоритмов диагностирования, использующих различный математический аппарат. В частности, известны: метод, использующий аппарат теории марковских процессов; метод, основанный на теории статистических решений и др.
Однако мы рассмотрим наиболее простой и наглядный метод, базирующийся на теории вопросников.
Теория вопросников применяется в идентификации, оптимальном кодировании и др. Применительно к построению диагностических тестов её суть состоит в следующем.
Все возможные технические состояния объекта диагностирования заданы множеством S. Каждое событие Si имеет свою вероятность P(Si). Вместо вероятности может употребляться вес данного состояния, отражающий, например, важность его обнаружения. Глубина диагностики λ определяет разбиение множества состояний {Si} на λ классов (λ ≤ N, где N – число состояний объекта диагностирования). Задано также множество T вопросов, разбивающих множество событий на определённые классы, не обязательно совпадающие с классами λ. В технической диагностике вопросами являются элементарные проверки. Число α(t) классов, на которые разбивается множество S одним вопросом t называется основанием вопроса. Если все вопросы имеют одно и то же основание, то вопросник называется однородным. В противном случае вопросник называется неоднородным.
Однородный вопросник с основанием α = 2 называется дихотомичным. В этом случае каждый вопрос разбивает всё множество событий S или уже выделенный предшествующим вопросом класс событий на два подкласса. При основании α > 2 вопросник называется полихотомичным (каждый вопрос разделяет выделенный ранее класс на α подклассов).
Задача синтеза диагностического теста сводится к отысканию такой последовательности вопросов, которая позволяет разбивать всё множество S состояний на классов. При одинаковой цене каждого вопроса (элементарной проверки) синтез оптимального теста будет сводиться к отысканию последовательности вопросов минимальной длины. Однако, в отличие от безусловных алгоритмов диагностирования с условной остановкой данная последовательность не определяется жёстко, а зависит от конкретного состояния Si объекта диагностирования. Это определяется тем, что выбор каждого последующего вопроса зависит от полученного ответа на предыдущий вопрос, то есть от результата предшествующей элементарной проверки.
Для синтеза таких условных вопросников широко используется метод динамического программирования. Суть метода в данном случае сводится к тому, что используется рекуррентное соотношение, позволяющее вычислять цену каждого конкретного подвопросника по результатам ответа на предыдущий вопрос и, тем самым, определять на каждом шаге диагностики подвопросник с минимальной совокупной ценой. Вся разница с безусловными алгоритмами состоит здесь в том, что дерево состояний не строится заранее до получения полного решения, а строится по шагам и процесс заканчивается, как только будет установлено конкретное состояние объекта. При этом на каждом шаге определяется нижняя граница цен реализуемых подвопросников и выбирается тот из них, который имеет наименьшую цену, в частном случае – наименьшее количество вопросов. Один из широко применяемых вариантов такого метода получил название метода ветвей и границ. С ним мы познакомимся ниже в п. 6.4.9. Данный метод пригоден для синтеза как условных, так и безусловных тестов.
Расчёт цены каждого подвопросника после реализации очередной элементарной проверки при большом числе диагностируемых состояний достаточно громоздок. Поэтому мы его проиллюстрируем лишь при выборе двух последних проверок теста, когда он достаточно прост и нагляден. А начальные проверки теста будем выбирать из условия, чтобы наиболее вероятные состояния идентифицировались бы наиболее короткими тестовыми последовательностями. Последнее требование приводит к тому, чтобы каждая элементарная проверка разделяла бы ещё не идентифицированные состояния объекта на группы с примерно равной суммарной вероятностью. Если же элементарные проверки имеют различную стоимость, то из проверок с примерно одинаковой разделяющей способностью необходимо выбирать наиболее дешёвую.
С учётом этих соображений рассмотрим построение условного теста на том же примере, который рассматривался при построении безусловных тестов. В нашем случае (и он является типичным) вероятность исправного состояния объекта намного превышает суммарную вероятность всех остальных состояний (хотя, естественно, чем из большего количества элементов состоит объект, тем выше суммарная вероятность неисправных состояний). С учётом этого, а также того, что при исправном состоянии все элементарные проверки дают единицу, первая проверка теста должна содержать минимальное число единиц (идеально – только одну единицу при нахождении объекта в исправном состоянии, тогда только одна эта проверка позволяла бы определить: исправен объект или нет). Из табл. 6.2 можно видеть, что элементарные проверки, содержащие только одну единицу, отсутствуют, но есть одна элементарная проверка π5 , содержащая только две единицы. Все остальные проверки содержат по три и более единиц. Следовательно, первой проверкой теста должна быть π5 . Она разделяет всё множество состояний на две группы (S1, S5) и (S2, S3, S4, S6, S7) с суммарными вероятностями соответственно 0,9417 и 0,0583.
Следующая элементарная проверка должна отделять исправное состояние S1 от неисправного S5 , а вторую группу состояний разделять на две подгруппы с примерно равными суммарными вероятностями. Разделяют состояния S1 и S5 элементарные проверки π3 , π4 , π6 , π7 и π9. Вторую группу состояний необходимо разделить так, чтобы суммарные вероятности подгрупп равнялись бы примерно 0,03. Проверка π3 разделяет вторую группу на подгруппы (S2, S6) и (S3, S4, S7) с суммарными вероятностями 0,0294 и 0,0289. Вероятности этих подгрупп почти точно равны, к тому же из всех пригодных проверок π3 является самой дешёвой. Поэтому при любом исходе первой элементарной проверки проверка π3 оказывается самой выгодной. Если объект находился в состояниях S1 или S5 , то после двух элементарных проверок π5 и π3 эти состояния уже будут идентифицированы и на этом тест заканчивается. Если же объект находится в одном из остальных состояний, то тест должен быть продолжен, т.к. эти две проверки выделили из второй группы состояний две подгруппы (S2, S6) и (S3, S4, S7).
Если проверка π3 дала 0, то объект находится либо во втором, либо в шестом состоянии, и следующая элементарная проверка должна их разделить. Самой дешёвой проверкой, разделяющей эти состояния, является π1 . Её и следует выбрать. Она позволяет идентифицировать состояния S2 и S6.
Если же проверка π3 дала 1, то объект находится в одном из трёх состояний S3, S4 или S7. Самое вероятное из них это состояние S3 (вероятность равна 0,0192), а суммарная вероятность двух других 0,0097 (вдвое меньше). Следовательно, в данном случае следующая проверка должна отделять состояние S3 от двух других. Это может сделать только одна проверка π7 , но она сравнительно дорогая. Поэтому следует помимо этого варианта рассмотреть и другие, учитывая, что вероятность состояния S7 очень мала 0,0002 и поэтому идентификация этого состояния будет очень слабо влиять на среднюю стоимость тестирования. Обращаясь вновь к табл. 6.2, находим, что проверка π1 позволяет отделить состояние S4 от двух остальных и, хотя в этом случае вероятности разделяемых групп будут отличаться сильнее, зато проверка π1 почти в три раза дешевле. Чтобы сделать окончательный выбор, необходимо достроить оба варианта теста до конца и подсчитать среднюю стоимость этих окончаний в обоих случаях.
Итак, если мы выберем проверку π7 , то при её нулевом исходе мы получаем состояние S3 и стоимость этой части теста будет равна С7РS3 = 2,8·0,0192 =0,05376. При единичном исходе этой проверки мы получаем группу из двух состояний S4 и S7 . Стоимость этой части теста составит С7(РS4 +PS7) = 2,8·(0,0095+0,0002) = =0,02716. Следующая проверка должна разделить эти два состояния. Это могут сделать проверки π1, π4, π6, π8, π9 и π10. Конечно, следует предпочесть самую дешёвую из них π1 . Стоимость этой части теста будет С1 (PS4 +PS7) = 1·0,0097=0,0097. Следовательно, средняя стоимость этого варианта окончания теста будет равна сумме 0,05376+0,02716+0,0097 = 0,09062.
Теперь подсчитаем среднюю стоимость второго варианта окончания теста. В этом случае для разделения состояний (S3, S4, S7) выбираем проверку π1. Стоимость этой части теста будет равна С1PS4 + C1 (PS3 + PS7) = 1·0,0095 + +1·(0,0192+0,0002)= 0,0289. Теперь необходимо разделить состояния S3 и S7. Самой дешёвой проверкой, которая может это сделать, является π4 . Её и используем. Средняя стоимость этой части теста будет равна С4(PS3 + PS7) = 1,6(0,0192+0,0002)= 0,03104. Средняя стоимость всего варианта составит 0,0289 +
+ 0,03104 = 0,05994. Это примерно на треть меньше, чем в предыдущем случае. Следовательно, второй вариант окончания теста более выгоден.
Теперь наглядно отобразим ход построения этого теста в виде алгоритма (см. рис. 6.3).
Примечательным в построенном тесте является то, что первые три элементарных проверки оказались одинаковыми во всех ветвях теста (за исключением того, что состояния S1 и S6 вообще не требуют третьей проверки). Поэтому данный тест практически не отличается от безусловного теста с условной остановкой, построенного с учётом вероятностей всех состояний. Но это скорее является исключением, а не правилом.
Теперь можно подсчитать среднюю стоимость тестирования с помощью полученного условного теста. Она будет определяться тем же выражением (6.8), что и для безусловного теста с условной остановкой.
Сср = (С5+С3)·(PS1+PS5)+(C5+C3+C1)·(PS2+PS6+PS4)+(C5+C3+C1+C4)·(PS3+PS7)=
= (2+1,4)(0,9411+0,0006) + (2+1,4+1)(0,0291+0,0003+0,0095) +
+ (2+1,4+1+1,6)(0,0192+0,0002) = 3,20178 + 0,17116 + 0,1164 = 3,48934.
Полученная стоимость контроля условным тестом оказалась ниже, чем безусловным тестом с условной остановкой. Однако мы не можем гарантировать, что это будет наиболее оптимальный по стоимости тест, поскольку при выборе первой элементарной проверки мы не просчитывали другие варианты, и она оказалась сравнительно дорогая. В то же время из структуры средней стоимости следует, что основной вклад в неё вносит диагностирование самого вероятного (исправного) состояния. Хотя оно в нашем тесте идентифицируется всего двумя проверками, но они сравнительно дороги. Если бы удалось идентифицировать исправное состояние также двумя проверками, но более дешёвыми, то средняя стоимость тестирования получилась бы ещё ниже. Проанализируем такую возможность. Других проверок, содержащих только две единицы у нас нет. Из проверок, содержащих три единицы более дешёвой, чем π5 является π4. Если её использовать в качестве первой проверки теста, то в одну группу с состоянием S1 попадут состояния S6 и S7 . Они могут быть отделены от первого состояния только всё той же элементарной проверкой π5 . Следовательно, стоимость идентификации исправного состояния S1 будет определяться суммарной стоимостью проверок π4 и π5. Она составляет 1,6+2=3,6, т.е. больше, чем в уже построенном тесте (там она складывалась из стоимости проверок π5 и π1 и составляла 2+1=3). Следовательно, этот вариант отпадает. Из элементарных проверок, содержащих 4 единицы, самой дешёвой является π2. Если её использовать в качестве первой проверки теста, то в одну группу с исправным состоянием S1 попадают состояния S2 , S5 и S6. Отделить их от первого состояния позволит проверка π3. Суммарная стоимость этих проверок составит 1,2+1,4 = 2,6. Это меньше, чем 3. Поэтому такой тест может оказаться более экономичным. Построим его.
Первая проверка π2 при единичном результате даёт группу состояний (S1 S2 S5 S6), при нулевом результате – (S3 S4 S7).
При единичном результате проверки π2 за ней должна идти проверка π3, которая отделяет состояние S1 от состояний (S2 S5 S6). Теперь в этой ветви теста надо разделить эти три состояния. Из них наиболее вероятным является состояние S2 . Его вероятность (0,0291) больше, чем суммарная вероятность двух остальных (0,0195). Но отделить состояние S2 от состояний (S5 S6) может только проверка π9, стоимость которой 3,6. Если выбрать этот вариант, то далее надо разделить пару состояний (S5 S6 ), что можно сделать самой дешёвой проверкой π1. Тогда стоимость этой части теста составит С9 PS2 + (C9 + C1)(PS5 + PS6) = 3,6·0,0291+ +(3,6+1)(0,0006+0,0003) = 0,1089. Поищем другой вариант с более дешёвыми элементарными проверками. Если после проверки π3 применить проверку π1, то она отделит состояние ,S6 от двух других и для их разделения должна быть использована проверка π5 (более дешёвых нет). В этом случае стоимость данной части теста составит С1 PS6 + (C1 +C5)(PS2 +PS5) = 1·0,0003+(1+2)(0,0291+0,0006) = 0,0894. Этот вариант оказался дешевле. Значит, его и примем.
Теперь будем строить вторую ветвь теста. При нулевом результате проверки π2 мы получаем группу состояний (S3 S4 S7). Следующей проверкой желательно отделить самое вероятное из этих состояний S3 от двух других. Единственной пригодной для этих целей оказывается проверка π7, стоимость которой составляет 2,8. Разделить состояния (S4 S7) можно с помощью проверки π1. Стоимость этой части теста составит С7PS3+(C7+C1)(PS4+PS7) =2,8·0,0192 + (2,8+1)(0,0095+0,0002)= = 0,09062. Поищем более дешёвые варианты, т.к. выше мы убедились, что если возможна идентификация состояний одинаковым числом элементарных проверок, то надо искать вариант с самыми дешёвыми проверками. Применив проверку π1 , мы можем отделить состояние S4 от двух других (S3 S7), а для разделения последних может быть использована проверка π4 . Стоимость такого варианта этой части теста составит С1PS4+(C1+C4)(PS3+PS7) = 1·0,0095+(1+1,6)(0,0192+0,0002)=0,05994. Как видим этот вариант на треть дешевле. Следовательно, его и надо оставить.
В итоге, построенный тест будет иметь вид, представленный на рис. 6.4.
Средняя стоимость тестирования этим тестом будет равна
Сср = (С2+С3)PS1 + (C2+C3+C1)PS6 + (C2+C3+C1+C5)(PS2+PS5) + (C2+C1)PS4 +
+ (C2+C1+C4)(PS3+PS7) = (1,2+1,4)·0,9411+ (1,2+1,4+1)·0,0003 +
+ (1,2+1,4+1+2)(0,0291+0,0006) + (1,2+1)·0,0095 + (1,2+1+1,6)(0,0192+0,0002) =
= 2,635.
Она оказалась существенно меньше первого варианта условного теста (стоимость первого варианта составляла 3,489). Следует также обратить внимание на то, что в данном тесте порядок следования элементарных проверок различный и зависит от результатов предыдущих проверок. Этот тест действительно будет оптимальным по стоимости, поскольку при его построении все конкурирующие варианты построения были просчитаны по стоимости.