5.7.5. Проверка нормальности генерального распределения по выборочным данным

Все рассмотренные выше статистические критерии, используемые для интервальной оценки параметров распределения и сравнения выборочных оценок, подсчитываемых по разным выборкам, справедливы только в том случае, если эти выборки берутся из нормально распределённой генеральной совокупности. Выше мы уже указывали теоретические предпосылки, позволяющие считать, что численные значения параметра качества, как для отдельной партии изделий, так и для совокупности многих партий (но не для небольшого числа партий, полученных при различных условиях) распределены по нормальному закону. Оговорка, касающаяся совокупности из малого числа партий объясняется тем, что в этом случае мы можем получать в итоге многомодальное нормальное распределение, т.е. распределение с несколькими максимумами, каждый из которых характеризуется своими значениями M(x) и . Это может случиться, если такие партии изделий произведены при разных условиях (на другом оборудовании, из другого сырья, другими исполнителями и т.п.) и вследствие этого, хотя для каждой партии изделий распределения являются нормальными, но характеризуются существенно различными математическими ожиданиями M(x). Если различия распределений каждой партии состоят только в различиях дисперсий, то они не будут нарушать нормальности суммарного распределения, оно будет характеризоваться лишь усреднённой дисперсией.

Другой причиной нарушения нормального распределения совокупности из нескольких партий может быть систематический дрейф математического ожидания от партии к партии, например, из-за износа инструмента или оснастки.

Таким образом, в ряде случаев теоретические предпосылки нормальности распределения генеральной совокупности могут нарушаться. Поэтому необходимо иметь возможность каким-то образом проверить нормальность распределения генеральной совокупности по выборочным данным. Проще всего это сделать, построив полигон или гистограмму выборки. Однако такая оценка будет субъективной, так как достоверность её численно не определена. Кроме того, для построения гистограммы объём выборки должен составлять не менее нескольких десятков. Поэтому желательно иметь более объективные критерии, которые бы характеризовались вполне определённой достоверностью (доверительной вероятностью Р или риском ошибки ). Такой метод проверки базируется на критерии ² («хи-квадрат»). Проверка выполняется следующим образом. Все множество выборочных значений параметра х разбивают на произвольное число k интервалов таким образом, чтобы в каждый интервал попадало бы примерно равное число выборочных значений величины х. Желательно, чтобы в каждом интервале их было не менее 5 и не более 10. Естественно, что для этого интервалы придётся делать неравномерными, так как вместе они должны охватывать всю числовую ось от - до +. Затем подсчитываются выборочные значения среднего и дисперсии S для всей выборки. После этого по теоретическому закону распределения с параметрами М(х) = и  = S², пользуясь таблицами интеграла Лапласа, определяют вероятность попадания случайной величины в каждый из этих интервалов:

. (5.54)

И, наконец, вычисляют значение критерия ²:

, (5.55)

где k – число интервалов;

l_j – число выборочных значений величины х, попавших в j-й интервал;

n – общий объём выборки .

Это расчётное значение критерия сравнивается с табличным значением ²(P,m) для выбранного значения доверительной вероятности Р и числа степеней свободы m = k – 3. Если ² меньше ²(P, m), то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, откуда взята данная выборка, принимается с доверительной вероятностью Р, то есть с риском ошибки  = 1 – Р. В противном случае её надо отвергнуть.

Поскольку применение критерия соответствия “хи-квадрат” требует значительных расчётов, то на практике часто применяют приближённые критерии. Они основаны на оценках центральных моментов третьего и четвёртого порядков: ₃ и ₄:

; (5.56)

. (5.57)

Их выборочные оценки подсчитываются по формулам:

; (5.58)

. (5.59)

В случае нормального распределения случайной величины х должны выполняться приближённые равенства: , . Чтобы количественно оценить, насколько выполняются эти равенства необходимо определить числовые безразмерные характеристики этих моментов: показатель асимметрии

, (5.60)

и эксцесс

. (5.61)

Как g_s, так и β₂ должны быть малы, если распределение случайной величины х – нормальное. Критерием их малости являются среднеквадратические ошибки, их распределений, которые соответственно равны:

для g_s :

, (5.62)

для β₂:

, (5.63)

где n – объём выборки.

Если хотя бы одна из этих характеристик g_s или β₂ по абсолютной величине значительно (в 2-3 раза) превосходит свою среднеквадратическую ошибку, то нормальность закона распределения Х следует подвергнуть сомнению и провести более детальный анализ с помощью критерия ² («хи – квадрат»). В противном случае для такого сомнения нет оснований.