5.7.2. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения случайной величины x аналитически выражается формулой:

, (5.11)

где М(x) – математическое ожидание случайной величины x;

² – её дисперсия.

Таким образом, нормальное распределение характеризуется всего двумя параметрами: математическим ожиданием М(х) и дисперсией σ², которые определяются через предельные соотношения:

; (5.12)

. (5.13)

Графически нормальный закон отображается симметричной колоколообразной кривой с максимумом в точке х = М(х) (рис. 5.2). Из него видно, что максимальное значение плотности вероятности при нормальном законе равно , а, следовательно, обратно пропорционально σ. Точки перегиба кривой соответствуют значениям x равным . Таким образом, при увеличении σ, расстояние между точками перегиба увеличивается пропорционально σ, то есть кривая распределения опускается вниз и одновременно растягивается в ширину. При этом суммарная площадь, ограниченная сверху кривой распределения всегда равна 1 (сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины). При изменении же М(х) и неизменной σ кривая перемещается вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы.

В частном случае, при М(х) равном 0 и σ равном 1 уравнение (5.11) примет вид

. (5.14)

Функцию вида р₀(х) можно получить, если заменить переменную х её нормированным значением

. (5.15)

Действительно, подставляя λ вместо х в (5.11) и учитывая, что нормированное значение σ равно 1, получаем

. (5.16)

Эта функция называется нормированной функцией нормального распределения.

Она табулирована (см. табл. П.2.1 Приложения 2) и с её помощью легко определить функцию р(х) при любых М(х) и σ. График этой функции показан на рис. 5.3.

Поскольку эта функция симметрична, то протабулирована только её правая половина (для положительных значений λ). Для определения вероятности нахождения случайной величины х (или λ) в интервале, ограниченном заданными границами х_Н и х_В (или и λ_В) достаточно выразить эти границы в нормированном виде, т.е. найти

, (5.17)

и по таблицам функции

, (5.18)

где λ_Г – это либо λ_Н, либо λ_В. Функция (5.18) называется нормированной функцией Лапласа или просто интегралом Лапласа, или интегральной функцией вероятности. Она также протабулирована для положительных значений λ (см. табл. П.2.2 Приложения 2).

Если границы интервала от λ_Н до λ_В заданы симметрично, относительно центра распределения, то вероятность нахождения случайной величины в этом интервале будет определяться как 2Ф(_Г). Если же границы заданы несимметрично, но расположены по обе стороны от центра распределения, то вероятность попадания случайной величины в этот интервал легко подсчитать как Ф(_Н) + Ф(_В). Если же обе границы расположены по одну сторону от центра распределения, то вероятность попадания случайной величины в этот интервал равна P = Ф(_В)–Ф(_Н). В частности, для интервала 

;

для интервала 2

и, наконец, для интервала 3 (в трёхсигмовых границах)

.

Вместо функции Ф(), часто используют кумулятивную функцию

(5.19)

Она определяет вероятность нахождения случайной величины в интервале от - до заданного граничного значения λ_Г, которое может находиться как слева, так и справа от центра распределения. Табличные значения (λ) (табл. П.2.3 Приложения 2) обычно приводятся для значений λ_Г от –3,5 до +3,5. Если же нас интересует вероятность попадания случайной величины в интервал от λ_Н до λ_В, то для этого достаточно найти разницу между табличными значениями этой функции для верхней и нижней границы, независимо от того, как они расположены относительно центра распределений:

. (5.20)