5.7. Математические основы выборочного контроля по количественному признаку

5.7.1. Общие положения выборочного контроля по количественному признаку

При выборочном контроле по количественному признаку результаты контроля изделий контрольной выборки представляются в виде ряда измеренных значений контролируемого параметра качества этих изделий. Безусловно, одно и то же изделие может характеризоваться несколькими параметрами качества. В этом случае контроль должен вестись по каждому из них независимо. Вопрос о том, какие именно параметры изделия следует контролировать, должен решаться, исходя из оценки их влияния на эксплуатационные и надёжностные характеристики изделия. Измеренные значения этих параметров для изделий, попавших в выборку, представляют собой случайные величины. Это утверждение будет справедливо даже в том случае, если истинные значения контролируемого параметра от измерения к измерению остаются неизменными, например, когда делается ряд повторных измерений для одного и того же изделия, поскольку при измерениях всегда имеют место погрешности. Но, поскольку даже при нормальном ходе технологического процесса производства данных изделий на их качественные показатели влияет множество различных как контролируемых, так и неконтролируемых факторов, то и истинные значения параметров качества от изделия к изделию могут изменяться в некоторых пределах. А при различных отклонениях от нормального хода технологического процесса эти изменения могут значительно возрастать. Следовательно, контролируемый параметр будет представлять собой непрерывную случайную величину. При использовании цифровых средств измерения она окажется квантованной с определённым шагом квантования, но это не меняет сути дела.

Для принятия решения о приёмке или браковке партии изделий по результатам выборочного контроля необходимо решить два вопроса:

1. Какие из проконтролированных изделий считать годными, а какие бракованными?

2. Каков закон распределения параметра (как случайной величины) для генеральной совокупности?

Необходимость решения первого вопроса очевидна. Не имея установленных границ браковки изделий по измеренным значениям контролируемого параметра, мы не можем принять или забраковать даже конкретное изделие, которое мы проконтролировали, не говоря уже о всей партии, из которой было взято это изделие. Браковочные границы по каждому контролируемому параметру качества, будь то готовое изделие, или его составная часть или даже отдельная деталь, обычно назначаются конструктором при проектировании данного изделия и выбираются таким образом, чтобы при нахождении численного параметра качества внутри браковочных границ обеспечивались бы с некоторым запасом устойчивости все эксплуатационные и надёжностные характеристики данных изделий, указанные в технических условиях. Таким образом, при контроле изделий по количественному признаку границы браковки или, что то же самое, границы допуска, всегда являются заданными. При этом могут иметь место два случая: двустороннее ограничение и одностороннее ограничение. При двустороннем ограничении задаются две браковочные границы, и изделие признаётся годным только в том случае, если измеренное значение параметра качества лежит между ними. В противном случае изделие бракуется. При одностороннем ограничении задаётся только одна браковочная граница – нижняя или верхняя. Если задана нижняя граница, то изделие считается годным, если измеренное значение параметра качества превышает эту границу, сверху же оно не ограничивается. Например, для операционного усилителя задаётся нижнее значение коэффициента усиления при включении без обратной связи; выше же её он может быть любым – чем больше, тем лучше. Если задана верхняя граница, то изделие считается годным, если измеренное значение параметра качества будет меньше этой границы, например, входной ток или напряжение смещения того же операционного усилителя.

Сопоставляя измеренные значения параметра качества с заданными браковочными границами для всех изделий выборки, мы можем определить число бракованных изделий в данной выборке. Этой информации достаточно, чтобы, воспользовавшись одним из стандартных планов контроля по качественному признаку, которые были рассмотрены выше, решить вопрос о приёмке или браковке всей партии изделий. Однако при этом мы теряем дополнительную информацию о распределении значений контролируемого параметра в данной выборке. А, следовательно, достоверность такого решения будет ниже, чем в том случае, если бы мы сумели использовать эту информацию. Использование этой информации с целью увеличения достоверности принимаемого решения и является главным достоинством выборочного контроля по количественному признаку. Однако для этого необходимо, во-первых, уметь экономно и эффективно, например, с помощью каких-либо усреднённых оценок, а не в виде таблицы результатов измерений, представлять информацию о распределении контролируемого параметра в выборке, а, во-вторых, определять достоверность этих оценок для всей партии изделий (генеральной совокупности). Именно для этого и необходимо решение вопроса о законе распределения контролируемого параметра для генеральной совокупности.

В различных условиях измеренные значения параметра качества для партии изделий достаточно большого объёма могут подчиняться различным законам распределения. Однако, при отлаженной технологии производства и отсутствии аварийных ситуаций и резких отклонений, есть все основания считать, что распределение подчиняется нормальному (гауссовскому) закону. Теоретическим обоснованием к использованию гауссовского закона распределения в данном случае является центральная предельная теорема Ляпунова, согласно которой случайная величина, зависящая от многих факторов, каждый из которых изменяется случайным образом и может иметь произвольный закон распределения, будет иметь нормальное распределение. При этом должны соблюдаться три условия: 1) все факторы, влияющие на данную случайную величину, должны быть независимыми или слабокоррелирующими; 2) число факторов должно быть достаточно большим; 3) среди них должны отсутствовать превалирующие над всеми остальными. При отлаженном технологическом процессе все три условия обычно выполняются, и многочисленные экспериментальные проверки подтверждают справедливость применения этой теоремы.

Сложнее обстоит дело, если выборочный контроль используется не только для оценки качества самих изделий, но и для управления технологическим процессом производства данных изделий. В этом случае помимо браковочных границ должны назначаться регулировочные границы, которые в целях предотвращения выпуска бракованных изделий должны лежать внутри браковочных границ. При этом совершенно очевидно, что по одному изделию нельзя судить об отклонениях в технологии, и регулировочные границы должны назначаться не для одного изделия, а для каких-то усреднённых по всей выборке значений, характеризующих выборочное распределение. Следовательно, и в этом случае, необходимо использовать выборочные оценки распределения генеральной совокупности, а для этого, прежде всего, необходимо знать закон распределения контролируемого параметра для генеральной совокупности и уметь оценивать его параметры по данным выборок.

Как было показано выше, имеются все основания считать распределение измеренных значений контролируемого параметра у генеральной совокупности нормальным. Причём математическая статистика располагает средствами для проверки справедливости этого предположения по выборочным данным. При этом используются выборочные оценки параметров генеральной совокупности. Поэтому целесообразно сначала рассмотреть основные теоретические положения нормального закона распределения, а далее уже рассмотреть методы проверки соответствия распределения генеральной совокупности нормальному закону.