5.4. Математические основы выборочного контроля по качественному признаку
Пусть
партия состоит из N
изделий, из которых D
изделий –
дефектные. Отбирая из неё случайным
образом n <
N
изделий, найдём вероятность того, что
d из
них окажутся дефектными. Обозначим эту
вероятность P(d).
Общее число возможных вариантов отбора
n
изделий из N
равно числу сочетаний из N
по n,
то есть
.
Количество вариантов, которыми можно
отобрать в эту выборку d
дефектных изделий и, соответственно n
– d годных,
равно
,
Отсюда вероятность P(d)
равна
, (5.1)
где
число сочетаний из R
по r
определяется формулой
.
При d = 0, 1, 2, …, min(n, D) эта вероятность подчиняется гипергеометрическому распределению. min(n, D) означает, что если n меньше D, то максимально возможным значением d является n (все изделия в выборке окажутся дефектными), а если n больше D, то максимально возможное d равно D (все дефектные изделия партии попадут в выборку).
Математическое ожидание доли дефектных изделий в выборке и дисперсия этой доли при таком распределении определяются выражениями
; (5.2)
, (5.3)
здесь
определяет вероятность дефектных
изделий в партии, а
– вероятность годных изделий.
Подсчёт вероятности по формуле (5.1) достаточно громоздок при больших объёмах партии. Поэтому вместо гипергеометрического распределения часто пользуются биномиальным распределением. Реально оно соответствует случаю, когда каждый раз после отбора и контроля очередного изделия его опять возвращают в партию и смешивают с остальными изделиями партии. Другими словами, после отбора каждого очередного изделия в выборку, распределение бракованных изделий в партии должно оставаться неизменным. Конечно, на практике такой случай не имеет места. Однако ситуация будет очень близка к нему, если объём выборки будет намного меньше, чем объём партии. Реально погрешности от замены гипергеометрического распределения биномиальным будут весьма незначительными уже при объёме выборки меньшем 10% от объёма партии. Для биномиального распределения вероятность попадания ровно d дефектных изделий в выборку объёмом n выражается формулой
. (5.4)
При малом объёме выборки эта формула весьма проста для расчётов.
Математическое ожидание при биномиальном распределении определяется той же формулой, что и при гипергеометрическом (5.2), а его дисперсия вычисляется по очень простой формуле:
. (5.5)
Если же наложить дополнительное условие, состоящее в том, что дефектные изделия встречаются достаточно редко, т.е. D много меньше N, а выборка достаточно велика, то биномиальное распределение с большой точностью может быть аппроксимировано пуассоновским:
,
(5.6)
где
.
Для распределения Пуассона математическое ожидание
(5.7)
и тому же равна дисперсия
.
(5.8)
Пуассоновский закон распределения вполне адекватно отображает случай выборочного контроля при поточном характере производства. Действительно, при отрегулированной технологии появление бракованных изделий – сравнительно редкие события, а периодические выборки хотя и невелики сами по себе, но по отношению к генеральной совокупности всего потока изделий их надо рассматривать совместно. А в этом случае их общий объём стремится к бесконечности. Таким образом, все условия справедливости закона Пуассона хорошо выполняются.
Выражения (5.1-5.8) позволяют определять следующие важные для практики характеристики:
а) какова вероятность того, что в выборке объёмом n окажется равно d дефектных изделий, если задана вероятность p появления дефектных изделий в генеральной совокупности, то есть в партии изделий или в потоке;
б) каково наиболее вероятное число дефектных изделий в выборке (при тех же исходных данных) – это и есть математическое ожидание числа дефектных изделий в выборке;
в) какова дисперсия (разброс) числа дефектных изделий в выборках одинакового объёма взятых из партий также равного объёма или из производственного потока.
Однако для организации выборочного контроля этих характеристик недостаточно. Нам ещё нужно определить минимальное число n количества изделий в контрольной выборке, при котором можно по результатам контроля выборки с достаточной достоверностью судить о процентной доле бракованных издеоий в партии; надо выбрать и граничное число c дефектных изделий в выборке, при превышении которого партия должна браковаться, чтобы при минимуме затрат на контроль обеспечить выпуск изделий с вероятностью брака, не превышающей заданную величину P.