1. Класс самодвойственных функций

Обозначим через класс всех самодвойственных функций из , то есть таких, что .

Как и выше, нетрудно проверить, что добавление равных функций не выводит за пределы класса :

.

Очевидно, что самодвойственными будут функции , . Менее тривиальным примером является функция :

Для самодвойственной функции имеет место тождество

.

Другими словами, на противоположных наборах и самодвойственная функция принимает противоположные значения. Отсюда следует, что самодвойственная функция определяется своими значениями на первой половине строк таблицы истинности. Поэтому число самодвойственных функций переменных равно .

Докажем, что класс замкнут, то есть, что суперпозиция самодвойственных функций является самодвойственной функцией. Для этого достаточно показать, что функция

является самодвойственной, если самодвойственны. Последнее устанавливается непосредственно:

.

Докажем теперь лемму о несамодвойственной функции.

Лемма 2. Если , то из нее путем подстановки функций и можно получить несамодвойственную функцию одного переменного, то есть константу.

Доказательство. Так как , то найдется набор такой, что

.

Рассмотрим функции ( ) и положим

.

Тогда

Лемма доказана.

Например, функция несамодвойственна, так как . Аналогично для функции имеем: .

11

1. Класс линейных функций

Последним классом является класс всех линейных функций.

Функция называется линейной, если ее многочлен Жегалкина содержит только члены степени не выше первой:

.

Класс , очевидно, содержит константы 0 и 1, тождественную функцию , отрицание , сумму по mod 2 . Дизъюнкция – нелинейная функция. Нелинейной также является конъюнкция , многочлен Жегалкина которого имеет вид .

Очевидным является следующее утверждение относительно замкнутости класса .

Лемма 5. Суперпозиция линейных функций является линейной функцией.

Докажем лемму о нелинейной функции.

Лемма 6. Пусть – нелинейная функция и . Подстановкой констант на места аргументов функции можно получить нелинейную функцию от двух аргументов.

Доказательство. Рассмотрим многочлен Жегалкина функции , который по условию содержит, по крайней мере, один член степени выше первой. Переименовывая переменные, будем считать , что в этот член входят переменные , и, возможно, какие-то другие переменные. Выполним следующую группировку членов полинома Жегалкина функции : соберем члены, в которые входят и и вынесем за скобки. Среди оставшихся соберем члены, содержащие , и вынесем за скобки. Точно так же соберем члены, содержащие , и вынесем за скобки. В результате получим

.

Здесь – некоторые функции от , причем функция тождественно не равна 0. Это следует из единственности полинома Жегалкина: если тождественно равно 0, то это означало бы, что функция имеет два полинома Жегалкина – с произведением и без него. Тогда для некоторого набора значений переменных имеем . Отсюда

,

где , , .

Лемма доказана.

В заключение заметим, что замкнутые классы попарно различны, что видно из следующей таблицы, в которой знак + означает, что функция содержится в классе, а знак – обозначает противоположную ситуацию.

Таблица 1

0	+	–	–	+	+
1	–	+	–	+	+
	–	–	+	–	+

12