Регулярные языки и грамматики
Пусть задан конечный алфавит
и тем самым множество всех конечных слов в этом алфавите:
.
Формальный язык
в алфавите
– это произвольное подмножество
.
Набор правил образования слов формального языка называют его грамматикой. В зависимости от сложности этих правил формальные языки делятся на ряд классов. Далее мы рассмотрим один из наиболее простых классов языков – регулярные языки – и установим их связь с конечными автоматами.
Рассмотрим совокупность языков с одним и тем же алфавитом и введем операции над этими языками.
1. Объединение. Это теоретико-множественная операция, которая, в отличие от пересечения и дополнения, имеет естественную синтаксическую интерпретацию:
.
2. Конкатенация – это операция, связанная с подстановкой языка в язык:
.
3. Итерация
языка
определяется равенством
,
где
– язык, состоящий из пустого слова,
который не надо смешивать с пустым
языком
,
не содержащим ни одного слова;
,
,
…
Языки
,
,
состоящие из пустого или однобуквенного
слова, называются элементарными.
Язык называется регулярным, если его можно построить с помощью конечного числа операций объединения, конкатенации и итерации.
38. Автоматы Мили и Мура. Распознавание множеств автоматами. Теорема анализа для автомата.
Конечный автомат называется автоматом Мура, если его функция выходов зависит только от состояния:
.
Общая модель конечного автомата, которая рассматривалась ранее, называется автоматом Милли.
Несмотря на то, что автомат Милли – частный случай автомата Мура, возможности этих двух автоматов совпадают.
Теорема. Для любого автомата Милли существует эквивалентный ему автомат Мура.
Рассмотрим автомат Мура с двумя выходными символами 0 и 1.Такой автомат будет для одних входных слов выдавать 1, для других – 0. Будем считать, что в первом случае автомат «распознал» слово, а во втором – нет. Тем самым определяется некоторый язык, состоящий из слов, распознаваемых автоматом.
Разобьем состояния автомата Мура на
два класса: класс
– выход равен 1, класс
– выход равен 0. Это позволяет не
рассматривать функцию выходов и
определить автомат-распознаватель
как систему
.
С каждым таким автоматом свяжем распознаваемый им язык
,
то есть язык
состоит из всех слов, которые переводят
автомат
из начального состояния
в одно из заключительных.
Пример.
,
где
,
,
,
,
а
задается таблицей
-
Вход
Состояние
1
2
0
1
2
1
2
1
Слова, переводящие автомат в состояние
1 – это слова с четным количеством
единиц. Поэтому язык
.
Теорема анализа. Язык, распознаваемый автоматом, является регулярным.