34.Словарные операторы. Примеры.

Рассмотрим конечный алфавит X , составленный из букв x_1,…..,x_n : X={ x_1,…..,x_n }.

Элементы декартового произведения X^k называют словами длины k в алфавите X: =x_i1…x_ik . При k = 0 имеем пустое слово, которое обозначается . Множество всех слов в алфавите X обозначается X*: X*= X X² … Xⁿ.

Длину слова обозначим l( ) . Например, l( )= 0 , l( )=k є X^k.

Пусть ₁ = x_i1…x_ip и ₂=x_j1…x_jq – произвольные слова из алфавита X . Приписывание слова ₁ к слову ₂ называется конкатенацией. Полученное при этом слово обозначается _{1 2}: _{1 2}= x_i1…x_ip x_j1…x_jq .

Операция конкатенации обладает следующими свойствами:

а) ассоциативность: ₁( _{2 3})=( _{1 2}) ₃;

б) существование нейтрального элемента: = = .

Очевидно, что эта операция некоммутативна.

Пусть X и Y – два алфавита, X*и Y*– соответствующие им множества слов.

Отображение ϕ :X*→Y*, → = ϕ ( ) называется словарным оператором.

Рассмотрим примеры словарных операторов для двоичных алфавитов X=Y={0,1}.

Пример 1. Оператор ϕ₁ сопоставляет каждому слову его первую букву: ϕ₁(α_1…. α_n)= α₁

Пример 2. Оператор ϕ₂ производит в слове-аргументе замену каждого нуля на единицу и каждой единицы на нуль: ϕ₂(α_1…. α_n)=

Пример 3. Оператор ϕ₃ переписывает каждое слово слева направо: ϕ₁(α_1…. α_n)= α_n…α₁

Пример 4. Оператор ϕ₄ определяется следующим образом:

ϕ₃(α₁ α_2…. α_n)=β₁ β_2… β_n , где β₁= α₁, β₂= α₁ α₂

35. Словарный оператор, реализуемый автоматом. Ограниченно-детерминированный словарный оператор.

По определению автомата A=(X, Y, Q, δ, λ): δ(x,q)- состояние автомата, в которое он переходит из состояния q , когда на его вход поступает символ x ; λ(x,q)- символ на выходе автомата, находящегося в состоянии q , в момент, когда на его вход поступает символ x .

Обе функции определены на множестве X x Q . Расширим область определения до X* x Q, полагая, что на вход поступает не символ x , а слово .

Формальное определение функций δ( ,q)и λ( ,q) можно дать индуктивно по длине слова.

Б а з и с и н д у к ц и и . Полагаем δ( ,q)=q, λ( ,q)= .

И н д у к т и в н ы й п е р е х о д . Предположим, что функции δ( ,q)и λ( ,q) определены для всех слов , длина которых не превосходит n-1. Рассмотрим произвольное слово x длины n с первой буквой x , то есть l( )=n-1 . Определим δ(x ,q)и λ(x ,q):

δ(x ,q)= δ( ,δ(x,q)), (1) λ(x ,q)= λ(x,q) λ( ,δ(x,q)). (2)

Из формул (1) и (2) следует, что функции δ( ,q)и λ( ,q)полностью определяются функциями δ(x,q)и λ(x,q), задающими закон функционирования автомата, и являются суперпозициями этих функций. Например, для слова =abc из (1): δ( ,q)= δ(abc,q)= δ(bc,δ(a,q))= δ(c, δ(b, δ(a,q))).

Из формул (1) и (2) ∀ ₁, ₂ : δ( _{1 2},q)= δ( ₂,δ( ₁,q)), λ( _{1 2},q)= λ( ₁,q) λ( ₂,δ( ₁,q)).

Будем считать, что в момент t =1 автомат находится в состоянии q₁єQ , которое будем называть начальным.

Словарным оператором, реализуемым автоматом A , называется отображение ϕ_A: X*→Y*, → = ϕ_A( ), определяемое следующим образом: ϕ_A( )=λ( ,q₁) (3).

Поставим вопрос: каждое ли преобразование слов можно реализовать на автомате?

Формально нужно проверить выполнение условия: ∀ϕ∃A: ϕ_A=ϕ.

Оказывается, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы словарный оператор ϕ обладал следующими тремя свойствами

1 ∀ єX: l(ϕ( ))=l( ) . Следует из (2) и (3).

2 ∀ ₀, єX: ϕ( ₀ ))= ₀ , где ₀= ϕ ( ₀). Словарный оператор ϕ должен отображать слова с общим началом в слова с общим началом.

Словарный оператор ϕ , обладающий свойствами 1 и 2, называется детерминированным.

3. Пусть ϕ – детерминированный оператор, а ₀– некоторое слово.

Остаточным оператором оператора ϕ, порожденным словом ₀ , называется словарный оператор ϕ ₀: X*→Y*, действующий по правилу: ϕ ₀= , ϕ( ₀ )= ₀ (4).

Корректность этого определения вытекает из свойства 2. Правило (4) можно сформулировать так: чтобы найти образ слова при отображении ϕ ₀, припишем к нему слева слово ₀, найдем образ полученного слова при отображении ϕ и удалим в полученном слове l( ₀) букв.

Из определения (4) получим соотношение ϕ ₁ ( ₂ )= ϕ ₁( ₂)ϕ _{1 2} ( ). (5)

Действительно, из равенства ϕ( _{1 2} )= _{1 2} по определению (4) следует ϕ ₁ ( ₂ )= ₂ и ϕ _{1 2} ( )= . При x= ϕ ₁ ( ₂)= ₂. Отсюда получаем (5).

Рассмотрим остаточный оператор для словарного оператора, реализуемого автоматом. Для множества слов, имеющих общее начало { ₀ | єX*}, имеем ϕ_A( ₀ )=λ( ₀ ,q₁)= λ( ₀,q₁) λ( ,δ( ₀,q₁)). Отсюда (ϕ_A) ₀( )=λ( ,δ( ₀,q₁)).

Так как δ( ₀,q₁)– одно из состояний автомата q_i, то (ϕ_A) ₀( )=λ( ,q_i).

Таким образом, ∀(ϕ_A) ₀∃q_i: (ϕ_A) ₀( ) – выход автомата, установленного в состояние q_i, на вход которого подано слово . Так число состояний автомата конечно, то получаем свойство 3, согласно которому словарный оператор ϕ должен иметь конечное число остаточных операторов.

Словарный оператор, обладающий свойствами 1–3, называется ограниченно детерминированным.

Мы доказали следующую теорему.

Т е о р е м а . Словарный оператор, реализуемый конечным автоматом, является ограниченно-детерминированным.

Справедлива и обратная теорема.

Т е о р е м а . Для каждого ограниченно-детерминированного словарного оператора существует реализующий его конечный автомат.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ϕ: X*→Y*, – ограниченно-детерминированный сло-

варный оператор. Обозначим через r(ϕ)число различных остаточных операторов словар-

ного оператора ϕ . Если r(ϕ)=r , то { ϕ_i 1, ...,r} – множество всех остаточных операторов словарного оператора ϕ (ϕ₁= ϕ_A= ϕ). Поскольку каждый остаточный оператор порождается некоторым словом

₀єX* , разобьем множество всех слов на r классов: X*= C_i (6), где С_i={ |ϕ =ϕ_i}. Обозначим класс, в который входит слово через C( ) . Имеем C( ₁)=C( ₂) ⇔ ϕ ₁₌ ϕ ₂ .

Разбиение (6) обладает следующим свойством ∀ xєX | C( ₁)=C( ₂) ⇒ C( ₁x)=C( ₂x) (7).

Построим автомат A₀=(X₀, Y₀,Q₀, δ₀, λ₀ ), реализующий оператор ϕ.

Так ϕ: X*→Y*,то X₀=X*, Y₀=Y*. В качестве состояний автомата возьмем классы разбиения (6):

Q₀={ C( )| ₀єX*}={C₁,..., C_r}. (8)

Функция переходов: δ₀(x, C( ))=C( x). (9)

Соотношение (9) можно по индукции распространить на слова: δ₀( ₁, C( ))=C( ₁). (10)

Функция выходов: λ₀(x, C( ))=ϕ (x) (11)

Покажем индукцией по длине слова, что ϕ_A0= ϕ, то есть ∀ єX*| ϕ_A0( )=ϕ(x) (12)

l( )=1⇒ ϕ_A0(x)=λ (x, C₁)= ϕ (x)= ϕ(x)

Пусть (12) справедливо для всех слов длины n -1. Рассмотрим произвольное слово

длины n с последней буквой x : ϕ_A0( x) = λ₀ ( x, C₁) = λ₀ ( , C₁) λ₀ (x, δ( , C₁))

По предположению индукции λ₀ ( , C₁)= ϕ_A0( )=ϕ( ).На основании (10) δ( , C₁)= C( ). Тогда ϕ_A0( x) = ϕ( )λ₀ (x, C( )) = ϕ( )ϕ (x)= ϕ( x) Теорема доказана.