Билет №25 Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

Эти поверхности относятся к группе линейчатых неразвертываемых поверхностей с двумя направляющими. Характерным признаком поверх­ностей с плоскостью параллелизма является то, что их прямолинейные об­разующие являются скрещивающимися прямыми, так как при формирова­нии этих поверхностей образующие, скользящие по двум направляющим, должны быть параллельны некоторой заданной плоскости. В этом случае все образующие будут пересекаться с плоскостью параллелизма в несобст­венных точках, множество которых определяют несобственную прямую; эту прямую следует рассматривать как третью направляющую линейчатой поверхности.

Часто поверхности с плоскостью параллелизма называют поверхно­стями Каталана (по имени бельгийского ученого-математика Е. Каталана, исследовавшего свойства этих поверхностей). Определитель для группы поверхностей Каталана имеет вид: Ф (m, n, E, а) [а П m, п; а II E], где m, n -направляющие линии; а - образующая, E - плоскость параллелизма, в ка­честве которой можно выбрать любую произвольную плоскость или одну из плоскостей проекций. Для задания поверхности этой группы на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих т и п и положение плоскости параллелизма. В зависимости от формы направляющих и их расположения в пространстве можно получить различные поверхности этой группы.

Рассмотрим отдельные виды линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.

Цилиндроиды

Поверхность, называемая цилиндроидом, образуется в том случае, когда обе направляющие т и n - кривые линии. На рис. 1а дано нагляд­ное изображение цилиндроида. Для получения проекционного чертежа, обладающего наглядностью, обычно указывают проекции нескольких прямолинейных образующих.

Так как заданная плоскость параллелизма является горизонтально-проецирующей плоскостью E, то построение проекций образующих (см. рис. 1б) начинают с горизонтальной плоскости проекций, на кото­рой горизонтальные проекции движущейся образующей а параллельны го­ризонтальному следу E₁ плоскости параллелизма E. Фронтальные проек­ции образующих строят по двум точкам пересечения образующей с на­правляющими т и п. Для построения точки, расположенной на поверхно­сти, используют образующую (или произвольную линию поверхности, см. рис. 3).

а) Рис.1 б)

Коноиды

Отличие поверхности коноида от цилиндроида состоит только в том, что одна из направляющих линий коноида - прямая. На рис. 2 даны на­глядное изображение и эпюр Монжа коноида. Здесь m иn- направляющие, причем т - прямая, п - кривая линии; - горизонтально-проецирующая плоскость, которой параллельны все образующие коноида. Точка К, принадлежащая поверхности коноида, построена при помощи

проходящей через нее прямолинейной образующей а. б) Рис. 2 а)

Косая плоскость (гиперболический параболоид)

Косая плоскость образуется непрерывным перемещением прямоли­нейной образующей а по двум направляющим - скрещивающимся прямым тип - параллельно некоторой плоскости параллелизма E. Эту же поверх­ность называют гиперболическим параболоидом, так как плоские сечения поверхности в одном из направлений дают гиперболы, а в другом - пара­болы (это положение доказано в аналитической геометрии).

На рис. 3 а дан пример косой плоскости с плоскостью параллелиз­ма E, перпендикулярной П₁,и направляющими прямыми т и п. На рис. 3 б приведен эпюр Монжа этой поверхности. Для наглядности проекционно­го чертежа построены проекции ряда образующих (аналогично рис. 1 б и 2 б).

Для построения точки К этой поверхности по заданной горизонтальной проекции К₁ использована образующая прямая а (см. рис. 183 б). Для построения же точки М по заданной фронтальной ее проекции М₂ может быть использована произвольная линия на поверхности косой плоскости, например b, с расчетом, что точка М должна принадлежать этой линии. Фронтальная проекция b₂ линии b проходит через М₂ и пересекает ряд об­разующих поверхности в некоторых точках. По горизонтальным проекци­ям этих точек пересечения строится горизонтальная проекция b₁ линии b, a на ней - искомая горизонтальная проекция М₁ точки М косой плоскости.

а) Рис. 3 б)

26. Гранные поверхности. Видимость ребер многогранника. Точка, линия на поверхности.

К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 98).

Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматической поверхности она находится в бесконечности), грань (часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей m и крайними относительно него положениями образующей l ) и ребро (линия пересечения смежных граней).

Рис. 97 Рис. 98

Рис. 99

Определитель пирамидальной поверхности включает в себя вершину S, через которую проходят образующие и направляющие: l' ~ S; l ^ т.

Определитель призматической поверхности, кроме направляющей т, содержит направление S, которому параллельны все образующие l поверхности: l||S; l^ т.

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками. Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и конгруэнтные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например: гексаэдр — куб (рис. 99, а), тетраэдр — правильный четырехугольник (рис. 99, 6) октаэдр — многогранник (рис. 99, в). Форму различных многогранников имеют кристаллы.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).

Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей. На рис. 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью.

Рис. 100 Рис. 101

При работе с комплексным чертежом многогранника приходится строить на его поверхности линии, а так как линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности.

Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку. На рис. 100 в грани ACS построена точка М с помощью образующей S-5.