Билет №22 Поверхности вращения общего вида

Поверхность, образованная вращением линии (плоской или про­странственной кривой) вокруг неподвижной прямой - оси, называется по­верхностью общего вида (рис. 1 а). Определитель поверхности может быть записан следующим образом: Ω(а, i)[a вращается вокруг i], где а -образующая, i - прямая (ось вращения). При вращении каждая точка обра­зующей описывает окружность с центром на оси i; плоскость окружности перпендикулярна оси вращения.

Окружности, описываемые точками образующей, называются парал­лелями. Наибольшая из параллелей - экватором, наименьшая - горлом или горловиной.

Плоскости, проходящие через ось вращения, называются меридио­нальными, а линии, по которым плоскости пересекают поверхность, - ме­ридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проек­ций, называется главной, а линия пересечения ее с поверхностью - глав­ным меридианом. Поверхность вращения считают закрытой, если мери­диональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пере­секающей ось поверхности в двух точках.

Меридиан

На Эпюре Монжа поверхности вращения удобнее задавать очерками. Если ось поверхности занимает горизонтально-проецирующее положение, то горизонтальный очерком поверхности является горизонтальная проек­ция экватора 1₁ (рис. 1 б), а фронтальным очерком - фронтальная проек­ция главного меридиана a₂. Для построения точек, расположенных на по­верхности, рационально использовать параллели. Видимость точек на по­верхности определяется очерковыми линиями, ограничивающими види­мость самой поверхности относительно плоскостей проекций.

Билет №23 Линейчатые поверхности вращения

Поверхности, образованные вращением прямой линии вокруг оси, также являются поверхностями второго порядка. Возможны три случая взаимного расположения образующей а и оси i:

• аІΙi;

• а U i; поэтому возможны три вида поверхностей (рис. 1).

• 

  

  а i,

а) б) в)

Коническая поверхность вращения. Образующая, а пересекает ось вращения i в точке S. Если ось вращения i занимает проецирующее поло­жение (см. рис. 1 а), то для построения точки, расположенной на по­верхности, рационально построить параллель. Если ось поверхности зани­мает положение уровня (или общее), то для построения точки на поверх­ности удобно использовать образующую.

Уравнение конуса вращения: z² = к² (х² + у²).

Цилиндрическая поверхность вращения. Образующая а параллельна оси вращения i. Если ось вращения - проецирующая прямая, то получаем проецирующую поверхность (см. рис. 1 б). Если ось занимает положе­ние уровня, то для построения точки на поверхности необходимо исполь­зовать не параллель, которая на одной из плоскостей проекций изобража­ется в виде эллипса, а образующую.

Уравнение цилиндра вращения: х² + у² = r².

Однополостный гиперболоид вращения. Прямая а и ось вращения i - скрещивающиеся прямые. На рис. 1 в показано построение параллелей, описываемых верхней точкой М образующей а, нижней точкой N и точкой F, которая описывает горловину. Кратчайшее расстояние между скрещи­вающимися прямыми определяет точку F. Для построения точки К на по­верхности используют параллель