Коническая поверхность

Коническую поверхность можно считать частным случаем поверх­ности с ребром возврата - при вырождении ребра возврата m в точку - вершину (S). В этом случае все образующие поверхности будут пересе­каться в собственной точке S, и поверхность определяется как коническая.

Для задания конической поверхности недостаточно иметь ребро воз­врата (точку) - поверхность останется еще неопределенной. В этом случае вводится дополнительная линия, заведомо принадлежащая задаваемой по­верхности, и эта линия называется направляющей (n).

Таким образом, коническая поверхность образуется движением пря­мой (а), проходящей через неподвижную точку (S) и пересекающей кри­вую (n) - направляющую (рис. 4).

Если направляющая n - замкнутая линия, то поверхность называется замкнутой (рис. 5).

Рис.5

Рис.4

Коническая поверхность может иметь две полости (см. рис. 4), ес­ли образующие продолжены за вершину.

В случае замены кривой направляющей n ломаной линией поверх­ность называются пирамидальной (рис. 6). Поверхности с замкнутой ломаной направляющей называются еще многогранниками.

Определитель конической поверхности можно записать следующим образом:

Ω (S, а, n) [аЭS, а U п].

На эпюре Монжа коническая поверхность однозначно задается про­екциями ее образующей а (а₁, а₂), направляющей n (п_1, п₂) и вершины S (S₁, S₂)(pиc. 7).

Рис.6 Рис.7

Для придания наглядности и выразительности изображению вычер­чивают очерк поверхности и показывают наиболее важные линии и точки на поверхности.

a) б) в)

Рис.8

Чтобы построить очерк конической поверхности, следует на каждой плоскости проекций отметить граничные образующие, заключающие ме­жду собой область, внутри которой находится проекция поверхности. Пример построения очерка замкнутой конической поверхности (Ω), задан­ной определителем (рис. 8 а), показан на рис. 8 б, в. Для построения фронтального очерка (см. рис. 8 б) на окружности п определяют крайние точки - правая В и левая А. Проводят образующие SA и SB. Проекции S₂A₂, S₂B₂ и п₂ определяют фронтальный очерк поверхности. Проекции S₁A₁ и S₁B₁ образующих SA. SB на П₁ не являются очерковыми образующими.

Для построения горизонтального очерка поверхности (см. рис. 8 в) проводят касательные S₁C₁ и S₁D₁ из точки S₁ к окружности П₁. Чтобы оп­ределить точки касания (С₁ и D₁), проводят радиусы окружности, перпен­дикулярные касательным образующим.

Для наглядности изображаемой поверхности невидимые элементы ее показывают штриховой линией.

Видимую часть поверхности на фронтальной плоскости проекции можно определить по горизонтальной проекции окружности п. А₁С₁В₁ -обращенная к наблюдателю часть окружности, считается видимой на П₂. Таким образом, границей видимости поверхности на П₂ являются очерко­вые образующие (A₂S₂; B₂S₂).

Видимую часть поверхности на П₁ определяют часть окружности D₁A₁C₁ и очерковые образующие D₁S₁ и C₁S₁.

Конические поверхности различают по виду нормального сечения (нормальным сечением конической поверхности называется сечение, плоскость которого перпендикулярна оси поверхности). Конус общего ви­да - это коническая поверхность, у которой нормальным сечением являет­ся неопределенная геометрическая линия. Выделим случаи, когда нор­мальное сечение конической поверхности представляет собой замкнутую кривую второго порядка (конус второго порядка):

• прямой круговой конус (рис. 9 а);

• эллиптический конус (рис. 9 б);

• наклонный круговой конус (рис. 9 в) или эллиптический конус с круговым основанием.

а) б) в)

Рис. 9

Точки на поверхности конуса могут быть построены при помощи проходящих через них образующих. На рис. 10 дан пример построения фронтальной проекции точки N, принадлежащей конической поверхности и заданной проекцией N₁, при условии, что эта точка видима на плоскости П₁; ход построений указан стрелками.

Пример построения очерка прямого кругового конуса, ось которого параллельна плоскости П₂ (но не Ι П₁), приведен на рис. 173.

Фронтальный очерк задан, это равнобедренный треугольник A₂S₂В₂ Горизонтальный очерк состоит из части эллипса и двух касательных к не­му прямых. Эллипс можно построить по двум его осям: малой A₁B₁и большой, равной по своей величине диаметру окружности основания ко­нуса. Для определения прямых S₁D₁ и S'₁D'₁ касательных к эллипсу, ис­пользуется произвольная сфера, вписанная в конус.

Построение начинают с отыскания точек К₂ и К'₂ - фронтальных проекций случайных точек искомых касательных. Эти точки получаются при пересечении фронтальных проекций окружности касания конуса и сферы и экватора вписанной сферы. Далее находят проекции точек К₁ и К'₁ на горизонтальной проекции экватора. Соединяют полученные точки К₁ и К'₁ с точкой S₁. На этих прямых определяют и точки D и D', горизонталь­ные проекции которых (D₁ и D'₁) есть точки касания прямых с эллипсом.

Рис. 10