29. Пересечение прямой линии с поверхностью. Алгоритм определения точек линии пересечения. Определение видимости прямой.

Алгоритм построения:

1. Заключаем кривую во вспомогательную поверхность Г: а Г;

2. Строим линию m пересечения данной поверхности и

вспомогательной m = Ф Г.

3. Отмечаем точки L1 пересечения данной линии (а) и построенной

(m), которые являются искомыми точками пересечения: L = a m.

Число точек пересечения зависит от вида поверхности, линий, их взаимного положения.

При пересечении прямой c поверхностью,в зависимости от вида поверхности, можно использовать плоскости частного и общего положения.

Видимость точек пересечения прямой с поверхностью определяется по их

принадлежности видимым (ближним к наблюдателю) частям поверхности.

3

Рис. 132

Рис. 133

0. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плосокстей частного положения. Алгоритм определения точек линии пересечения (опорных, промежуточных точек). Определение видимости линии пересечения очерков и поверхностей.

Плоскости общего положения применяются в ограниченных случаях. Например, их удобно использовать при построении линии пересечения конических и цилиндрических, а также пирамидальных и призматических поверхностей общего вида, когда основания этих поверхностей расположены в одной и той же плоскости.

Решение задачи построения линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей рассмотрим на примере пересечения конуса вращения со сферой. В качестве поверхностей-посредников примем плоскости частного положения— горизонтального уровня. На рис. 132 сначала отметим очевидные общие точки А и В поверхностей в пересечении их главных меридианов f и 1-S-2, так как поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф(Ф1); f2^S2—S2 = А2(В2); A2Al(B2Bl) || S2S1, A2Al(B2Bl) ^f1 =A1(B1)

Эти опорные точки являются наивысшей А и наинизшей В точками линии пересечения, а также точками видимости линии на плоскости П2.

Брать вспомогательные фронтальные плоскости, параллельные П2, для построения следующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графические простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г.

Первую такую вспомогательную плоскость Г1 берем на уровне экватора сферы И. Эта плоскость пересекает конус по параллели h1. В пересечении этих параллелей находятся точки видимости линии пересечения относительно плоскости П1:

h1^h11 = С1(D1); С1С2|| S1S2; С1С2 ^ h2(hl2) = C2(D2).

Если пересекающиеся поверхности вращения не имеют общей фронтальной плоскости симметрии (рис. 133), то самую высокую А и низкую В точки линии пересечения поверхности легко определить, построив изображения этих поверхностей на плоскости П4, параллельной осевой плоскости Sum (Sum1) данных поверхностей. Можно построить проекции всей линии пересечения в системе плоскостей П1_|_П4, а затем построить ее фронтальную проекцию в проекционной связи с горизонтальной проекцией, замеряя высоты точек на плоскости П4, так, как это показано на рис. 132 для точек А и В.

БИЛЕТ№31

Пересечение криволинейной и многогранной поверхностей.

Для построения линии пересечения ,необходимо призму, как в примере ниже,

Поставить в проецирующее положение(провести плоскости, перпендикулярные рёбрам)

В сечении будет столько кривых, сколько граней у поверхности.(в данном примере 3 кривые- трёхгранная призма)

Билет № 32

Для построения линии пересечения двух поверхностей вращения можно воспользоваться свойством, присущим поверхностям вращения : две соосные поверхности пересекаются друг с другом по параллелям( окружностям), причём число последних равно числу точек пересечения меридианов поверхностей.

С помощью вспомогательных поверхностей (сфер) сравнительно просто решаются задачи на построение линий пересечения двух произвольных поверхностей вращения , имеющих общую плоскость симметрии, при этом возможны 2 случая:

- если оси поверхностей пересекаются, то для определения линии пересечения поверхностей используют семейство концентрических сфер, центр которых находится в точке пересечения осей поверхностей.

-если оси не пересекаются, применяют эксцентрические сферы, центры которых перемещаются по оси одной из поверхностей.

Построение линии пересечения двух поверхностей вращения с помощью концентрических сфер

Условия:

1. пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения, так как сфера рассекает соосную с ней поверхность вращения по параллелям( окружностям)

2. оси поверхностей вращения должны пересекаться, так как через точку пересечения осей можно провести сферу ,соосную обеим данным поверхностям вращения.

3. Оси поверхностей вращения должны быть параллельны плоскости проекций, так как в этом случае параллели пересечения вспомогательной секущей сферы с данными поверхностями вращения будут проектироваться на эту плоскость проекций в виде отрезков прямых. Точки общие для данных поверхностей , находятся как точки пересечения полученных параллелей( в виде отрезков прямых).

Опорные точки 1 и 2 –точки пересечения очерковых образующих поверхностей, лежащих в плоскости симметрии тета.

Горизонтальные проекции опорных точек 12 и 2 2 получаем на следе плоскости тета ,проведя линии проекционной связи.

Из центра О пересечения осей данных поверхностей проведём вспомогательную секущую сферу произвольного радиуса R так , чтобы она пересекала обе поверхности вращения.

R max – расстояние от центра до наиболее удалённой точки линии пересечения .

R min – сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую(окружность минимального радиуса).см.рисунок ниже.

Приложения: соосные поверхности –имеющие общую ось вращения

Билет № 33

Развёртыванием поверхности называется такое преобразование, в результате которого поверхность всеми точками совмещается с плоскостью. Полученная при этом фигура называется развёрткой.

Поверхности делятся на развёртываемые и неразвёртываемые.

Развёртываемые поверхности совмещаются с плоскостью без разрывов и складок. Признаком развёртываемости является пересечение пересечение соседних образующих или их параллельность. К развёртываемым поверхностям относятся многогранные, цилиндрические, конические, торсовые. Развёртки многогранников строятся точно, учитываются лишь погрешности инструмента и графических построений. Развёртки цилиндрических, конических и торсовых поверхностей получаются приближённо, так как эти поверхности заменяются вписанными или описанными около них многогранными поверхностями, которые и развертываются.

Неразвёртываемые поверхности с плоскостью не совмещаются, т.е. теоретически они развёрток не имеют, так как образующие их скрещиваются. К неразвёртываемым относятся поверхности параллелизма (цилиндроид, коноид, косая плоскость), криволинейные( сфера, тор и т.п.) и графические.

В инженерной практике строятся условные развёртки неразвёртываемых поверхностей. Для этого неразвёртываемая поверхность делится на части(доли), которые заменяются развёртываемыми поверхностями.

Если рассматривать поверхность и её развёртку как множество точек, то между этими множествами устанавливается взаимооднозначное соответствие, т.е каждой точке на поверхности соответствует единственная точка на развёртке и наоборот.

Отсюда вытекают свойства развёртки:

1. Прямая на поверхности переходит в прямую на развёртке.

2. Параллельные прямые на поверхности будут параллельными прямыми на развёртке.

3. На развёртке сохраняются:

- длина линии, лежащей на поверхности;

- величина угла между линиями поверхности;

- величина площади фигуры на поверхности.

Билет №34

Способ триангуляции(треугольников) универсален, его можно применять для построения развёрток любых поверхностей, в том числе и криволинейных( например, подвесные сферические своды). Однако, способ триангуляции не всегда является рациональным. Для каждой группы поверхностей начертательная геометрия рекомендует соответствующий графический способ построения развёрток. Все линейчатые поверхности, включая и неразвёртываемые (цилиндроид, коноид, косая плоскость) развёртываются способом триангуляции.

Сущность способа заключается в следующем:

1. Криволинейная поверхность заменяется вписанной в неё многогранной поверхностью. Например, в наклонный эллиптический конус(нормальное сечение- эллипс) с круговым основанием вписана двенадцатигранная пирамида. Для этого основание конуса разбивается на 12 равных частей. Полученные после деления дуги заменяются стягивающими хордами .Затем проводятся образующие, которые являются рёбрами пирамиды.

2. Определяются натуральные величины сторон каждого треугольника(1S2,2S3).(можно также определять вращением вокруг оси i (как например в задаче 14ПО).Третьей стороной у каждого треугольника являются хорды, которые на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения. Натуральные величины хорд |12|=|1121|;|23|=|2131|..

3. Развёртка выполняется последовательным построением всех треугольников. Каждый треугольник строят по трём сторонам, натуральные величины которых известны. Допускается строить половину развёртки, которая с одной стороны должна быть ограничена осевой линией. Рекомендуется поверхность разрезать по самой короткой образующей, чтобы длина соединительных «швов» была наименьшей. Осевая линия располагается на чертеже вертикально или горизонтально, на ней откладывается отрезок |S1|=|S212|,из точки 1 проводится дуга радиусом |1121|,а из точки S –вторая дуга радиусом |S22’2| до пересечения с первой в точке 2, соединив 1 и 2,2 и S ,получаем 1 из искомых сегментов. Аналогично пристраиваются рядом остальные.

На развёртках часто приходится строить линии, расположенные на поверхностях .к ним относятся линии пересечения двух поверхностей и сечения поверхности плоскостью.

Для построения на развёртке точки выполняется следующее:

1. Через данную точку проводят линию, лежащую на поверхности и удобной для построения (чаще всего это прямые или окружности)на рисунке точка А принадлежит образующей SB;

2. Определяется натуральная величина этой линии и на неё переносится рассматриваемая точка. |S2B2| - натуральная величина образующей и точка А’2 принадлежит S2B’2;

3. на развёртке строится соответствующая линия. Образующая SB располагается между образующими S3 и S4. отрезок 3B равен хорде |31B1|, а расстояние SA берётся с натуральной величины и равно |S2A’ 2|.

Билет №35

2) строится нормальное сечение перпендикулярно рёбрам призмы. Так как рёбра параллельны плоскости П4 , то сечение сигма 4 вырождается в прямую линию (142434 – прямая) и является проецирующим относительно П4. На плоскости П1 и П2 это сечение проецируется в общем положении.

3) определяется натуральная величина нормального сечения любым способом. В данном примере она определена проецированием на плоскость П 5 .Проекция 152535 – натуральная величина.

4) строится развёртка следующим образом:

а) периметр нормального сечения развёртывается в прямую линию, на которой, например,|12|=|1525|,то есть этот отрезок равен расстоянию между образующими (рёбрами);

б) через точки 1, 2, 3 проводятся образующие ,перпендикулярные развёртке нормального сечения ;

в) на этих линиях откладываются натуральные величины образующих |1А|=|14А4| …и т.д.

г) полученные точки соединяются ломанной линией при развёртывании призматической поверхности и плавной кривой при цилиндрической.

Билет№36

Рисунок развёртки сферы способом вспомогательных цилиндров. Криволинейные поверхности вращения относятся к неразвёртываемым, их нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок, поэтому при выполнении их из листового материала строятся условные развёртки.

Последовательность построений:

1.поверхность разрезается по меридианам или параллелям на ряд частей.

2.кахдая такая часть заменяется вписанной или описанной развёртываемой поверхностью.

3.строятся развёртки отдельных частей, из которых затем собирается заданная поверхность.

При разрезании по меридианам каждая доля заменяется описанной цилиндрической поверхность. Такой приём называется способом вспомогательных цилиндров. т разве

1.поверхность сферы меридиональными плоскостями разрезают на равные части. Рекомендуется разбивать не менее чем на 12 частей.

2.каждую такую часть заменяют описанной цилиндрической поверхностью, касающейся ее по линии симметрии доли.

3.строят развёртку каждого описанного цилиндра способом нормального сечения:

а. нормальным сечением доли 1 является главный меридиан, который развёртывается в отрезок I1...7I вертикальной прямой .на ней откладывают отрезки, равные фронтальным проекциям хорд: I12I=I1;2I,I23I=I2;3I.

б.через полученные точки 2,3,4,5,6 проводят образующие цилиндра перпендикулярно ''развёртке'' нормального сечения .Через полученные точки 1,А,В,С проводят плавную кривую. Развёртка каждой доли имеет вертикальную и горизонтальную оси симметрии, поэтому построив 1/4 часть развёртки, аналогично строят остальные 3/4.

Полная развёртка сферы будет состоять из шести(двенадцати) таких долей. Местоположении точки М на развёртке определяется двумя координатами - вертикальной и горизонтальной.Вертикальная координата-расстояние от точки соседней параллели,горизонтальная-от оси симметрии.Вертикальная координата I38I=I3;8I берётся с фронтальной проекции,горизонтальная IМ8I=IM;8I - с горизонтальной плоскости проекций.

Задача:построить развёртку поверхности тора спсобом описанных цилиндров.

Решение:

1.Поверхность тора проецирующими меридиональными плоскостями сигма,сигма',сигма" делится на четыре части.Деление надо произвести так,чтобы у крайних звеньев с торца получались окружности,к которым присоелиняются трубопроводы круглого сечения.

2.все звенья кругового кольца заменяются описанными цилиндрами.Нормальным сечениием этих цилиндров является окружность,образующая тор.Эта окружность делится на 8(или12) частей.Через точки деления 2,3...8 проводятся параллели.Затем строятся образующие цилиндров,касательные к параллелям.У крайних звеньев точки касания расположены на торцевых окружностях, а у средних- на линии симметрии.

3.Строятся развёртки описанных цилиндров способом нормального сечения. Нормальное сечение каждой части есть окружность заданного диаметра, которая разворачивается в прямую линию.Получаем точки и соединяем их плавной кривой линией. Развёртка звена симметрична образующей.

БИЛЕТ№37.

Аксонометрия служит для наглядного изображения предмета. Название "аксонометрия" образовано из слов ''аксон''- ось и ''метрео''- измеряю, т.е. измерение по осям. Аксонометрическая проекция предмета получается параллельным проецированием его вместе с осями прямоугольных координат, к которым этот предмет отнесён, на одну плоскость проекций, называемую аксонометрической плоскостью проекций или картинной плоскостью.

Должен быть рисунок получения аксонометрической проекции точки А.

(обозначения:

• П'-аксонометрическая плоскость проекций;

• x,y,z-оси координат в пространстве;

• А-точка пространства;

• А1-проекция точки А на плоскость проекций нп П1

• S-направление проецирования;

• x',y',z'-аксонометрические оси, являющиеся проекциями осей координат на П1.

В общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций. Искажение отрезков осей координат при их проецировании на плоскость П' характеризуется коэффициентами искажения .Для определения коэффициентов искажения по аксонометрическим осям x,y,z на них откладываются отрезки длиной e,принимаемые за единицу измерения по этим осям.

Коэффициентом искажения называется отношение длины аксонометрической проекции отрезка, лежащего на координатной оси или параллельного ей, к истинной длине самого отрезка. Кx=E'z/E ;K y=E'y/E ;K z=E'z/E.

Вторичной проекцией точки называется аксонометрическая проекция одной из её ортогональных проекций. Аксонометрическая проекция точки и её вторичная проекция определяют положение точки в пространстве .Они находятся на одной прямой, параллельной соответствующей оси.

Аксонометрические проекции классифицируют в основном по двум признакам:

1.По направлению проецирования.

В зависимости от направления проецирования все аксонометрические проекции делятся на две группы:

-прямоугольные, если направление проецирования перпендикулярно аксонометрической плоскости проекций.

-косоугольные, если направление проецирования не перпендикулярно аксонометрической плоскости проекций.

2.По коэффициентам искажения.

В зависимости от коэффициентов искажения все аксонометрические проекции делятся на три группы:

-изометрия- коэффициенты искажения по всем трём осям равны между собой(Kx=K y=Kz);

-диметрия- коэффициенты искажения по двум осям равны между собой, а третий им не равен (K x=K z не равно K y);

-триметрия- коэффициенты искажения по всем трём осям не равны между собой (Kz не равно Ky не равно Kz);

Между коэффициентами искажения и углом фи, образованным направлением проецирования с плоскостью П', существует зависимость: K x^2+K^2+K^2=2+ctg^2фи.

Сумма квадратов коэффициентов искажения по аксонометрическим осям равна двум плюс квадрату котангенса угла проецирования .Котангенс прямого угла равен нулю.

Kx^2+Ky^2+Kz^2=2.

БИЛЕТ№38.

Из прямоугольных аксонометрических проекций применяют изометрию и диметрию, из косоугольных- фронтальную изометрию, горизонтальную изометрию и фронтальную диметрию.

Изометрическая проекция. Для того чтобы получить искажения, равные между собой, неодходимо оси координат в пространстве расположить относительно так, чтобы углы наклона их к плоскости были одинаковые ,тогда проекции их изобразятся на П' под углом 120 друг к другу.

В прямоугольной аксонометрии Kx^2+Ky^2+Kz^2=2, Kx=Ky=Kz, откуда 3Kx^2=2 и Kx=K=корень2/3=0,82.

Диметрическая проекция. Эта проекция получается прямоугольным проецированием осей на одну плоскость проекций П'. При этом оси x и z располагаются относительно картинной плоскости так, чтобы углы наклона их были одинаковые ,а ось y так, чтобы коэффициент искажения по ней был вдвое меньше.2Kx^2+(Kx/2)^2=2,откуда Kx=корень8/9;Kx=Kz=0,94;Ky=0,47.

Косоугольные проекции:

Фронтальная изометрическая проекция. Координатные оси x и z располагаются параллельно картинной плоскости. Фронтальная плоскость проекций П2 будет параллельна картинной плоскости П', поэтому такая аксонометрическая проекция называется фронтальной. Коэффициенты искажения по всем осям будут равны единице.

Горизонтальная изометрическая проекция. Координатные оси x и y располагаются параллельно картинной плоскости. Горизонтальная плоскость проекций П1,определяемая этими осями, будет параллельна картинной плоскости П', поэтому аксонометрическая проекция называется горизонтальной. Коэффициенты искажения по всем осям принимаются равными единице.

Фронтальная диметрическая проекция. Координатные оси x и z,и плоскость П2 располагаются параллельно картинной плоскости П'. Коэффициенты искажения по осям x' и z' равны единице ,а по оси y' коэффициент принимается равным 0,5.

Изображения окружности: Четыре точки касания сторон квадрата с окружностью 1,2,3,4 в аксонометрии будут находиться на середине каждой ъстороны параллелограмма .Ещё четыре точки 5,6,7,8 находятся на пересечении диагоналей параллелограмма со вспомогательными прямыми. Они проведены параллельно соответствующим аксонометрическим осям на расстояниях, равных отрезку а .Соеденив полученные восемь точек плавной кривой, получают эллипс.

В прямоугольных изометрии и диметрии большие оси эллипсов перпендикулярны отсутствующим в плоскости эллипса осям, а малые оси по направлению совпадают с ними.

Косоугольные аксонометрические проекции окружности строятся аналогично.

При построении диметрической проекции окружности надо учитывать коэффициент искажения по оси y',которой равен 0,5.