22. Раскрытие неопр-ей.Правило Лопиталя

А)Раскрытие неопределённости вида :

Будем говорить, что отношения двух ф-ий f(x) и g(x) представляет собой при х→а неопределённость вида , если limf(x)=0 и limg(x)=0 при х→а .

Раскрыть неопределённость вида это значит вычислить такой предел ,если он существует.

Теорема:(Правило Лопиталя)

Пусть 2 ф-ии f(x) и g(x):

1.Определены и диффер-мы всюду в некоторой окрестности точки х=а, за исключением быть может самой точки; 2. limf(x)=0 и limg(x)=0 при х→а ; 3. Производная g’(x)=0 всюду в указанной выше окрестности точки а; 4. Существует(конечный или бесконечный) предел , тогда существует и предел такой и при этом выполняется равенство . Если производные f’(x) и g’(x) удовлетворяют тем же условиям, что и ф-ии f(x) и g(x), то правило Лопиталя можно применить повторно. Получим: = = =… Сформулированная выше теорема переносится и на случай, когда аргумент х стремится к бесконечному пределу, т.е. когда a=+ или а=- . Пусть ф-ия f(x) и g(x) определ. И диффема всюду на полупрямой с<x< .Пусть limf(x)=limg(x)=0 g’(x)=0 на указанной полупрямой, тогда если существует предел , то существует и предел и при этом выполняется равенство .

Б)Раскрытие неопределённости вида : Будем говорить, что отношения двух ф-ий f(x) и g(x) представляет собой при х→а неопределённость вида , если limf(x)= и limg(x)= при х→а . Для раскрытия такой неопределённости имеет место теорема, аналогичная предыдущей, т.е. имеет место правило Лопиталя.

Теорема: Пусть ф-ия f(x) и g(x) определены и диффер-мы в некоторой окрестности точки х=а, за исключением быть может самой этой точки. limf(x)=limg(x)= . g’(x)=0 всюду в указанной выше окрестности точки х=а. Существует конечный или бесконечный предел , тогда . Аналогично предыдущему и в этом случае правило Лопиталя можно применить несколько раз.

11.Дифференцируемость функции в точке.Критер.Диф.

Пусть ф-ия у=f(x) определена на некотором мн-ве Х и пусть х₀ нек-рое фикс.знач. арг-та. этой ф-ии А. обзначает приращ.арг-та так же что x_о+_∆х принадл.мн-ву Х.Ф-ия у=f(x) наз-ся дифференцируемой в дан.точке х_0,если приращение этой ф-ии в точке х₀соотв.приращению _∆х арг-та, может быть представл.в в виде =А_∆х+𝝀_∆х. Где А –нек.действ.число, независящ.от _∆х, а 𝝀 – ф-ия от _∆х – беск-малая при _∆х -> 0.Для того, чтобы ф-ия у=f(x) была дифф. в дан.точке x_о необх.и дост. чтоюы она имела в этой точке конечную произв., причём знач.постоян.А равно знач.произв. в точке x_о т.е. =f’(x_о).Тогда =f(x₀)_∆х+ 𝝀_∆х. Дифф.ф-ии- нахождение произв. Если ф-ия у=f(x) диф. в точке x_о,то она и непрерывна в это точке.Обр. утв. – неверно! у=|х|,непр.в точке х=0, но не диф.значит в точке х=0не им.пр

25 Разл-е по ф-ле Тейлора.

R_n+1(x) (1)

f R_n+1 (2)

Из ф-л 1 и 2 видно, что

для разложения ф-ции по ф-ле Т-ла - Макл невозможно вычислить все производ. данной ф-ции до n-го порядка включительно, затем найдем знач этих производ. в т. х=0 по Маклодеки. И начнём с расмотр. Ф-ций производ любого порядка т.е y’=y’’=y’’’.. Откуда ф-ция из Маклодеки 1+ =1+x+ ; Эта ф. позволяет вычислить не только знач. е то и некоторую ее степень. Так если х=1 то получим:

e=1+1+ + + ; =1-1+ y=sinx. y’=cosx=sin ( ) y’’= -sinx=sin(x+П)=sin(x+2* ); найдём знач ф. sinx, в т. х=0 имеем:sin0=0, sin’(0)=1; sin’’(0)=0, sin’’’(0)=sin