21. Теорема Лагранжа

Пусть ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и диффер-ма во всех внутренних точках этого отрезка. Тогда найдётся такая точка с [a,b], что для неё справедлива формула или f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Эту формулу называют формулой Лагранжа или формулой конечных прирощений. Геометрически т.Лагранжа означ., что между точками a и b где f(a)=A и f(b)=B найдётся такая точка m, ксательная к которой параллельна к хорде АВ.

32 Достаточ усл сущест. Перегиба

Т.(1-ое дост усл)пусть ф. y=f(х) имеет вторую произ.в некоторой окресности точки х=с, f’’(с)=0,тогда в пределах указаной окрестности вторая произв. имеет разные знаки слево и справа от точки х=с, то график этой ф-ции в т.M(c,f(c)) имеет перегиб. Т.(2-ое дост усл) если ф. y=f(х) в т. х=с имеет конечную 3-тью произ.в и удовле твор.в этой точке усл. f’’(с)=0 , f’’(с) ≠0,то график этой ф. в т. M(c,f(c)) имеет перегиб. Т.(3-тье дост усл)пусть n>=1 есть натур. Число и пусть ф-ция y=f(x)имеет произв. n-го порядка в некоторой окрестности т.х=с и производ n+1-го порядка в самой т.с.Пусть выполн. След отношения f’’(с)= f’’’(с)=..= ; . Тогда если n-явл.чётным числом то график ф. y=f(x)имеет перегиб в т.M(c:f(c)), если n-число нечёт. И f’(с)=0 то ф. y=f(x) в т. х=с имеет лок. Экстр-м.

28 Локал. Экстем. Ф-ции.1ду (Дорисовать!)

О.Ф.y= f(x)имеет в точке х0 локал.макс.

(миним.)если найдется(х0-б,х0+б) в пределах которой знач. ф-ции f(x0)-явл. Наибол.(наимен.)среди всех других знач.ф-ции указанной окресности.Т(необход. Условие лок. экстр.).Ес ли ф. f(x)-дифер-ма в точке х0 и имеет в этой точке локал.экстемум то её производ f’(x0)=0.Т(перв. дост. Усл) Пусть т. х0-явл точкой возможного экстрем. Ф. f(x) и пусть ф. y=f(x)диф-ма в некоторой окресности в т. х0 тогда если границы указанных окресн-тей полож-но(отриц.)слева от т. х0 и отриц срава от этой точки, то ф. f(x) имеет в т. х0 лок. Макс. (мин).Если производ. f’(x) имеет один знак слева и справа от т. х0 то эта ф-ция в т. х0 экстр-ма не имеет.

31 Точки перениба графика ф-ции

О.т.M(c,f(c))график ф-ции y=f(x)наз точ. Перегиба этого графика если существует такая точка с на оси в пределах которой граф.ф. y=f(x)слева и справа от т. с имеют разное направление выпуклости.Т(неоход.усл. перегиба)если ф. y=f(x) имеет в точке с т.х0 эта ф-ция имеет максимум если вторая производ. в этой т. отрицательна.

Если вторая произв. в этой этой т. положит. То >0.

Вторую производ и график этой ф. с координатами M(c,f(c))то вторая производ в этой точке=0, f’’(с)=0. З.Выше теор. Явл. Необходим. Но не явл. Достаточн. Усл. Существован. Перегиба в т.M. Но по закону контропо зиции если в т.х0=с вторая производ не обращается в 0.То с-не явл. точ. пер-ба.