15. Обратная ф-ция и её дифф. Теорема о пр. Обратной ф-ции.

27Кри-рии монотон.Ф-ции

Т.Пусть ф. f(x) определена и дифер-ма на интервале(а,б)тогда эта ф. строго монотонно возрастает на интервале если f’(x)>0 истрого-монотонно убы-вает если f’(x)в любой точке этого интервала. З.Условие f’(x)>0 явл.достаточным но не явл. Необходимым для строго монотон. Возрастающего ф. f(x).

Пусть ф-ция у= f(x) определена на отрезке [a,b]. Будем считать, что на этом отрезке ф-ция явл. либо строго возрастающей либо строго убывающей, т.е. строго монотонной.Пусть ф-ция у= f(x) определена на отрезке [a,b] и пусть мн-ом знач. ф-ции на этом отрезке [α ] . Будем считать, что каждому значению у ставится в соответсвие только одно знач. х из отрезка [a,b] можно определить ф-цию x= (y) , для кот. f(x)=y, тогда на отрезке [a,b] можно определить ф-цию x= (y) для кот. f(x)=y , такая ф-ция x= (y) назыв. обратной ф-цией для ф-ции у= f(x)( ).Из определ. Следует, что если ф-ция x= (y) явл обратной ф-цией для у= f(x), то и ф-ция у= f(x) явл. обратной для x= (y).такие ф-ции назыв. взаимно обратными.Две взаимно обратные обладают очевидными св-ми: f( (y))=y, f( (x))=x

16.Сложная ф-ция.Теорема о непрерывности сложной ф-ции.Ф-ция образованная в рез-те суперпозиции, т.е. последовательного применения 2-х или нескольких ф-ций, будем называть сложной ф-цией и обозначать y=f( (t)). Например, y=f( ), u= (x), y=f( (x)). Пусть у= f( ) и пусть U-область определения этой ф-ции, а Х-мн-во е знач. Будем считать, что на мн-ве Х опр. U=у(x), тогда говорят, что на мн-ве Х опред. Y=f(u(x)). Т(о непрерывности сложной ф-ции)Пусть ф-ция u= (x) непрерывна в точке = ( ), тогда и сложная ф-ция y=f( (x)) так же непрерывна в точке .Короче, но менее точно эту теорему можно сформулировать так: непрерывная ф-ция от непрерывной ф-ции явл непрерывной ф-цией. y=cosu, u= -x+1.

17. Теорема о дифференцируемости сложной ф-ии. Логарифмическая ф-ия.

Как указывалось ранее, сложная ф-ия отличается тем, что вместо независимой переменной ставится новая ф-ия от другой зависимой переменной. y=f(u), u= . Производная сложной ф-ии вычисляется по ф-ле (f =f’u . Можно доказать, что такая ф-ла имеет место для любого действительного числа показателей этой ф-ии, т.е. .

Логарифмическая производная: Пусть y=f(x) положительна и диффер-ма в данной точке или на некотором промежутке, содержащем эту точку. Тогда существует lny=lnf(x). Рассматривая lnf(x) как сложную ф-ию аргумента х, можем вычислить производную этой ф-ии в любой точке х lny= .Определяемую так производную называют логарифмической производной в данной точке х. Рассмотрим ф-ию y= . Если число натуральное, то как указывалось раньше находим производную y’= . Можно доказать, что эта ф-ла имеет место и для любого действительного числа т.е. y’= , .