9.Первый замечательный предел(Дорисовать!)
Теорема:
предел ф-ии у=
в точке х=0 существует и равен 1.lim
sinx/x=1.Этот
предел наз-ся первым замеч-ым пределом,
он неочевиден.Рассмотрим круг с единичным
радиусом в точке О.ОА – неподвиж.радиус,
ОВ – подвижный радиус,который образует
угол Х с радиусом ОА.0<x<π/2.Cоединим
А иB
и из точки а восст.перпендик.до пересеч.с
ОВ в С.Тогда S∆AOB=1/2*1*1*sinx=1/2*sinx.
S∆AOC=1/2*OA*AC=1/2*tgx*1=1/2tgx.
Cравнивая
указанные площади приходим к неравенству
1/2sinX<1/2X<1/2tgX.Получим
1<
<
.
Рассмотрим
нер-ва обратные данному,т.е. заменим
все на обратные.Знаки поиеняются на
противоп-ые. 1>
>cosX.Т.к
cosX
– непрерывная ф-ия,и limcosX=1,
lim1=1.Отсюда
следует, что limx->0
=1.Т.к.
у=cosX
– чётн, то нер-во 1>
>cosX
спр-во и для 0>x>-
7.Одност-ие
пределы.Беск-мал и бес-бол.ф-ии, их ср-е Число
b
наз-ся правост.пределом ф-ии у=f(x),
при х->а, если для любой сходящейся к
числу а послед. х1
,х2,
...хn
..знач.арг-та
х, эл-ты которой больше числа а,
соотв.послед.f(
х1)
,f(х2)
...f(хn)
.. сходится
к числу b.
Прав. предел обознач.limf(x)x->a+0,
лев. limf(x)x->a-0.Пример:ф-ия
у=sgn(x)
= 1, если х>0, 0-если х=0, -1, х<0.лев-1,пр
1.Т-ма: если в точке х=а , пр.и лев. пределы
ф-ии f(x)-равны,
то в точке х=а сущ. предел ф-ии f(x)
равный указанным одност.пределам.Сф-ем
опред.предела ф-ии прис стремлении
пред.ф-ии к бесконечн.Будем считать,
что мн-во Х, на кот.задана ф-ия f(x)для
люб.больш.числа
.
13.Понятие дифференциала ф-ции.Применение дифф .В прибл. Вычислениях.
Пусть
ф-ция y=f(x)
диф. в точке
,
т.к. т.к. её приращение б.записано в таком
виде ∆у=f’(
)
*∆х+
∆х.
отсюда следует, что приращ. ф-ции равно
сумме 2-хслогаемых: f’(
)*∆х
и
∆х.1-ое
из слог. предст. собой ф-цию, от
приращ.аргумента ∆х. 2-ое слог. предст.
собой бесконечно малую ф-цию при ∆х.
Дифференциалом
в точке
назыв. главную линейную относит.
часть приращ. ф-ции в точке
.
Дифференциал dy=f’(
)
*∆х. Будем считать, что приращ. арг-та
∆х=dх,
тогда имеем ф-лу dy=f’(
)
*dх
или dy=f(
).
В рез-те получили другое обознач. пр-ной
ф-ции, т.е. f(x)=
.
Дифф. ф-ции часто используют в прближ.знач.,
заменяя при этом приращ. ф-ции её
дифференциалом.
Будим
говорить что прямая х=а
явл.вертикал.асимпт.графика ф.
y=f(x) если
один из пределов
33 Асимптоты графика ф.
различают
односторон. Вертикал. Асимпт. Такая
прямая х=а к которой график ф. стремиться
только с одной стороны справа(слева).О.Будим
говорить что прямая y=kx+b-явл.
Наклон.асимптотой графика ф. y=f(x)при
если ф. представлена так f(x)=
kx+b+Ɩ(х)где
Ɩ(х)-бесконч.малая при
.
Геометр. Определ. Наклон. Асимпт.
Означает что расстояние между прямойkx+b
и графиком этой ф. неогранич.
Уменьшаеться.Т(признак
существования)для того чтоб y=f(x)имел
при
наклонную
асимтоту y=kx+bнеобход.
Существова ния двух конечных пред-ов.
14.Правило дифф.,
связ. с арифм. оп. над ф-циями. Произ.
степ., триг. и лог. ф-ций.
Пусть у= f(x)
опр.в некотором эпсилон-окрестности
(
).Т.Если
каждая из ф-ций U(x)
и V(x)
дифф. в данной
точке
,
то +-*/
V’(
)
0
этих ф-ций также дифф. в этой точке и
имеют место равенства (U(x)
V(x))’=
U’(x)
V’(x),(
U(x)*V(x))=
U’(x)
* V(x)+
U(x)*
V’(x).(Пр-ная
част.)Пусть у=
,
v(x)
0.Тогда
y’=
.(Пр-ная
с, тр и л ф-ций)Отметим,
что если у=с, то у+
=с;
.!Произ-ная
постоянной равна 0. y=x,
=∆х,
тогда
,
(x)’=1.Испльзуя
ф-лу, легко найти у=
,
у=
=x*x,
y=x’*x+x*x’=1*x+1*x=2x,
=2x,
,
.
Таким обр., можем вычислить произ-ную
многочлена.(Пр-ная
тригоно-х ф-йий)Произв-ная
ф-ции y=(sin(x))’=cosx
и (cosx)’=-sinx;
(sin(x))’=cosx,
y=sinx,
∆у=sin(x+∆x)-sinx=2sin
cos
=cos(x+
)*2sin
.Находим
предел отношения
;y=tgx,
вычисляем используя правило частн.,
учитывая, что tgx
=
;
(tgx)’=
;
; (tgx)’=
.
Вычислим y(x)=
>0,
a
1,
x>0;
)’=
в частном случае, если а=е, то
;
.