12.Физический и геометрический смысл производной.

(физический)Пусть ф-ция S=f(t), где t-время, описывает з-н движения в мат. точке по прямой линии. Придадим времени t произвольное приращ. ∆t, получим t+∆t, кот. будет соответствовать S+∆S=f(t+∆t).Откуда следует, что пройденный путь получит приращ. ∆S= S+∆S-S. Найдём разностное отн. это отн. ук. на сред. скор. мат. точки на пути ∆S. ∆t→0 и найдём предел разн. отн. и .Откуда следует, что пр. от пути по времени равна мгновенной ск. движ. т. в момент времени t. Из сказанного следует, что если известна ф-ла пути пройденной т-ой при неравн. прямол. движ., то числено равна ск. движ. точки в данный момент вр.Например, чел-к движ. по з-ну: S= -3t+1. Найти ск. движ. этого тела в момент вр. t=2сек. S’=3 -3. S(2)=3* -3=9

(г-ский)Рассм. гр-к ф-ции y=f(x)

Пусть дана М соотв. знач. , а точка Р соотв. знач. Ар-та +∆х, где ∆х явл. Некоторым приращ. ар-та. Соед. точки М и Р прямой, кот назовём секущей.ᵞ( ∆х)-угол, кот. Образует эта секущ. с положит. нап. оси Ох, при этом очевидно, что если менять расс. ∆х, то будет меняться и угол. Будем неограниченно прибл. точку Р к точке М по гр-ку ф-ции.

Кос-ной к гр-ку ф-ции y=f(x) в точке М будем наз. предельное положение МР при стремлении в точке М к точке Р по гр-ку или при усл. ∆х→0.Из рисунка видно, что tg (∆х)= = . Учитывая, что сремящаеся к 0 секущ. МР переходит в кос., то = tg , где -угол, кот. обр. косательную с полож. напр. оси Ох, с другой стороны = = f’(x). В рез-те получили, что f’( )= tg , а это значит, что пр-ная ф-ции f(x) в точке ровна угл. коэ. кас, графику ф-ции y=f(x) в точке касания, а tg называется угл. коэф. к гр-ку ф-ции в данной точке . Отсюда легко написать ур-ния кас. гр-ку ф-ции в данной точке. Исходя из ур-ния прямой, проход. ч/з точку и с угл. коэф. k. y- =k(x- ).Учитывая, что k= tg =f’( ) ур-ниe касат. запишутся: y- =f’( )(x- ) y= +f’( )(x- .

10.Приращение арг-та и фу-ии.Опред-ие пр-ой. Одност. Пр. Условия сущ пр.

Пусть дана ф-ия у= f(x), опред.на некотором промеж.Х, конечн.или бекскон.Зафиксируем любое знач.x_о из этого промеж.И зададим арг-ту x_о нек-ое приращ.и обознач.через _∆x. x_{о+ ∆}x.Тогда знач.ф-ии у=f(x₀)в точке x₀ тоже примет знач.f(x_{о+ ∆}x).При этом разность между знач.у= f(x_{о+ ∆}x)- f(x₀) .Рассмотр.отн-е = .Предел lim _∆x->0 =lim

Производной ф-ии у=f(x) в точке х_о, наз-ся предел отн-ия приращ.ф-ии к приращ.арг-та, если такой предел сущ, при условии что _∆x->0.Производная ф-ии в точке x₀ наз-ся числом, если рассм.произв.ф-ии в каждой точке некоторого промеж.х, то произв.уже становится ф-ей оХ

Правосторонней произв.ф-ии у=f(x) в точке х₀ наз-сяправост.предел разностного отнош. при условии, что -> 0, если такой предел сущ.Пр.произв: f’(x₀+0), лев - f’(x₀-0).

Если ф-ия у=f(x) имеет в точке x₀ пр.и лев. произв,скоторые совп., то и ф-ия у=f(x) имеет произв. в этой же точке