4.Предел числ.Послед.Опред, св-ва.Св-ва пределоа, св. С арифм.Оп.Над послед.
Число а наз-ся пределом послед-ти {xn}, если для любого Ɛ>0 существует nƐ что для всех членов послед-ти {xn} n>nƐ выполн.нерав.(хn-a)<Ɛ. LimXn=a, при n->∞.Если послед. {xn} имеет конечн. предел, то она наз-ся сходящейся,а если± ∞ или не сущ – расходящейся.интервал вида(х-Ɛ,х+Ɛ), где х-зад.действ.число, а Ɛ –положит.дейст.числоназ-ся Ɛ-окрестностьюточки х. сходится, предел равен 0.Если послед-ть {xn} имеет предел, то он единственный.Если даны 3 послед. {xn}{Уn}{Zn} и для люб.члена с номером n этих посл.вып-ся нер-во xn≤ уn ≤ zn, . LimXn=a, . LimZn=a, то и . LimУn=a при n->∞
Арифм.операции:
Теорема:Если послед-ти {xn}и{Уn} сходятся, то послед. {xn}±{Уn},{xn}*{Уn},{xn}:{Уn},Уn<>0 так же сходятся, и при этом выполняются равенства lim{xn±Уn}= limXn± limYn, lim{xn*Уn}= limXn* limYn , lim{xn:Уn}= limXn: limYn, Yn<>0.
Док-во(для суммы): пусть LimXn=a, LimУn=b, докажем что lim{xn+Уn}=a+b. xn=a+𝝀n, yn=b+𝝱n, где 𝝀n и 𝝱n – бесконечномалые послед.тогда xn+ уn= (a+𝝀n)+ (b+𝝱n)=(a+b)+( 𝝀n+ 𝝱n).Т.к. { 𝝀n}и{ 𝝱n } – беск.мал.послед, то их сумма так же б.м.послед. lim{𝝀 n+𝝱 n)=0. Тогда lim{xn+Уn}=a+b= limXn+ limYn.
Из условия lim{xn*Уn}= limXn* limYn = a*b следует, что если послед . {Хn} сходится, С – любое действ.число, то
лев. limf(x)x->a-0.Пример:ф-ия у=sgn(x) = 1, если х>0, 0-если х=0, -1, х<0.лев-1,пр 1.Т-ма: если в точке х=а , пр.и лев. пределы ф-ии f(x)-равны, то в точке х=а сущ. предел ф-ии f(x) равный указанным одност.пределам.Сф-ем опред.предела ф-ии прис стремлении пред.ф-ии к бесконечн.Будем считать, что мн-во Х, на кот.задана ф-ия f(x)для люб.больш.числа полож.числа а имеет хотя бы 1 эл-т, лежащий вне этого отрезка.Число b наз-ся пределом ф-ии f(x) при х->∞, если для люб.беск-больш. послед.знач-ий арг-та , соотв.послед-ть знач.ф-ии сход.к числу b.И записывают limf(x)x->+∞=b.В этом случае предпол., что мн-во Х, на котор.задана ф-ия f(x) имеет хотя бы 1 эл-т Xn , кот. Xn >А Xn <-А
5.Монотонная послед.И еёпредел.Бесконечномал.И больш.Посл.
Послед.{Xn}наз-ся монот.возр(убыв), если для люб челена посл.с номером n выполняется нер-во Xn≤Xn+1 (Xn≥Xn+1).Для того чтобы исслед. послед. на монот.следует найти разность между Xn- Xn-1<0 –возраст.
Теорема:Всякая огранич.сверху(сн) монотон.возр(уб) посл. {Хn} имеет предел, причём лимит {Хn}, при lim Хn=Sup {Хn},l im Хn=Inf {Хn}, где Sup {Хn} – точная верх.грань, а Inf-нижняя.Отсюда след, что всякая мон-возр. сходящ. послед. ограничивается сверху и наоборот.
Бесконечно мал и больш.
Послед-ть Xn наз-ся беск-малой, если её предел равен нулю. lim Хn =0.Например { } – беск.малая.
lim =0.Св-ва:1)алгебр. сумма конечн.числа беск-малых посл.есть велич.беск-малая.2)произв. беск-мал. посл. на огр.посл. – велич.бесконечно-малая.3) произ.конечн. числа бес-малых посл. есть бес-мал посл.
Если
посл.{ Хn
}-беск-бол.,
то lim
Хn
=±∞.
Беск-больш.посл – неогр.и не имеет
конеч.предела.Если посл.
беск-мал.,
то посл.{
}
– беск.больш.{
}–
беск-мал, {n}
– беск-бол.