Типи графі.

Термін „граф” уперше з’явився в книзі видатного угорського математика Д. Кеніга 1936 р., хоча перші задачі теорії графів пов’язані ще з іменем Л. Ейлере (XVIII ст.).

Простим графом називають пару G=(V, Е), де V — непорожня скінченна мно­жина елементів, називаних вершинами, Е — множина невпорядкованих пар різ­них елементів із V .Елементи множини Е (невпорядковані пари різних вершин і називають ребрами.)

Мультшрафом називають па­ру (V, Е), де V — скінченна непорожня множина вершин, а Е- сім’я невпорядко- заних пар різних елементів множини V. Тут застосовано термін „сім’я” замість поняття „множина”, бо елементи в Е (ребра) можуть повторюватись. Ребра, що з'єднують одну й ту саму пару вершин, називають кратними (або паралельними). Окрім кратних ребер розглядають також петлі, тобто ребра, які з’єднують Бер­лину саму із собою. Псевдографом називають пару (V, Е), де V — скінченна не­порожня множина вершин, а Е — сім’я невпорядкованих пар не обов’язково різ­них вершин.

Псевдограф — це най- загальніший тип неорієнтованого графа, бо він може містити петлі й кратні реб­ра. Мультиграф — це неорієнтований граф, який може містити кратні ребра, але не може містити петель. Нарешті, простий граф — це неорієнтований граф без кратних ребер і без петель.

Розглядають також орієнтовані графи. Орієнтованим графом називають пару (V, Е), де V — скінченна непорожня множина вершин, а E- множина впорядкованих пар елементів множини V. Елементи множини Е в орієнтованому графі називають дугами (чи орієнтованими ребрами). Дугу (v, v) називають петлею.

Орієнтованим мультиграфом називають пару (V, Е), де V — скінченна непорож­ня множина вершин, а Е — сім’я впорядкованих пар елементів множини V. Отже, елементи (дуги) в Е в разі орієнтованого мультиграфа можуть повторю­ватись; такі душ називають краттіші. Зауважимо, що кратні дуги з’єднують одну пару вершин і однаково напрямлені.

Деякі спеціальні класи графів.

Повний граф з п вершинами (позначають як Кn) — це граф, у якому будь-яку па­ру вершин з’єднано точно одним ребром.

Кількість ребер у графі К_п дорівнює C²_n=n(n-1)/2.

Граф називають порожнім, якщо Е=0, тобто такий граф не має ребер. Порож­ній граф з п вершинами позначають як 0n

Граф G = (V, Е) називають дводольним, якщо множину його вершин V можна розбити на дві підмножи ни V₁ і V₂, що не перетинаються (V1UV₂=V, V1∩V2 = 0), так, що кожне ребро з’єднує вершину зV1і вершину з V2- Дводольнии граф називають повним, якщо кожну вершину з V1 з’єднано ребром із кожною вершиною з V₂. Повний дво­дольний граф позначають як К_тn де т= |V|, п = |V₂|. Циклом С_п, п ≥ 3, називають граф із множиною вершин V={v₁, v₂, —, vn} і мно­жиною ребер Е={{v₁ и₂}, {v₂, v3),..., { v_n-1, vn}, {v_n, v1}}.

Колесом називається граф, який можна одержати з циклу С_п додаванням іще однієї вершини, з’єднаної з усіма п вершинами в Сn новими ребрами.

Простий граф, вершини якого зображають усі 2ⁿ бітові рядки довжиною п, назива­ють п-виларним кубом і позначають Q. Дві вершини в Q_n з’єднано ребром тоді ' лише тоді, коли бітові рядки, які їх подають, відрізняються точно в одному біті.