Метод резолюції.

Існують комп’ютерні програми, котрі розроблено для автоматизації міркувань, виконуваних за допомогою доведення логічних теорем. У багатьох із цих про­грам використано правило виведення, відоме як резолюція. Правило резолюції записують у вигляді р v q,(не)q v r |- p v r. На основі цього правила Дж. Робінсон (G. Robinson) 1965 р. запропонував метод резолюцій автоматичного доведення логічних теорем. Форму­лу di називають елементарною диз’юнкцією, диз’юнктом або клаузою. Кількість літералів у формулі d_t називають рангом елементарної диз’юнкції. Розглядають також елементарну диз’юнкцію з рангом 0, яку позначають □; така диз’юнкція не містить жодного літералу. За означенням елементарну диз’юнкцію з рангом 0 уважають такою, що дорівнює F.

Правило виведення.

Універсальна конкретизація — це правило виведення того, що Р(с) істинне для довільного елемента с з предметної області за умови, що формула VхР(х) істинна. Універсальне узагальнення — це правило виведення, згідно з яким VхР(х) істинне, якщо істинне Р(с) для довільного с з предметної області. Це правило використо­вують тоді, коли на підставі істинності Р(с) для кожного елемента с з предмет­ної області твердять, що VхР(х) істинне. Вибраний елемент с має бути довільним і не конкретизованим. Універсальне узагальнення неявно застосовують у багатьох математичних доведеннях і рідко згадують явно.

Екзистенційна конкретизація — де правило, яке дає змогу дійти висновку про те, що на підставі істинності 3хР(х) можна твердити, що в предметній області є еле­мент с, для якого Р(с) істинне. Зазвичай про елемент с відомо тільки те, що він існує. Із цього випливає, що можна позначити його та продовжувати міркування. Екзистенційне узагальнення — це правило виведення, використовуване для того, щоб на підставі істинності Р(с) на якомусь елементі с з предметної області дійти висновку, що 3хР(х) істинне.

Множина.

Множиною називають будь-який набір певних відмінних один від одного об’єктів нашої інтуїції чи інтелекту, розгля­дуваних як єдине ціле. Відповідно до цього опису вивчають не окремі об’єкти, а їх сукупності як певні утворення.

У математиці застосовують і такі синоніми терміна „множина”: система, клас, область, сукупність. Кортеж — це впорядкований набір елементів. Це не означення кортежу, бо не пояснено, що таке впорядкований набір. Уважатимемо поняття „кортеж” ([вектор, рядок, ланцюжок), як і поняття множини, первісним, неозначуваним. Елементи, що утворюють кортеж, називають його компонентами. Компоненти нумерують, кількість компонент називають довжиною (розмірністю) кортежу. Нескінченні кортежі не розглядатимемо.

Операції над множинами.

1.об’єднанням множин А та В називають множину A u В = {х | (х є A) v (х є В)};

2.перетином множин А та В називають множину А ∩ В = {х\ (х є А) ▲ (х є В)};

3.різницею множин А та В називають множину А\В = {х | (х є A) ▲ (х (не ▲) В)};

4.доповненням множини А називають множину (не)А = U\A, де U — універсальна множина.

Комп*ютерне подання множин.

У комп’ютері можна подавати множини різними способами. Один зі способів — зберігати невпорядковані елементи множини. Проте в такому разі операції з мно­жинами займатимуть багато часу через те, що потрібно щоразу переглядати еле­менти. Тому розглянемо інші способи.

Одним із найпоширеніших і найпростіших способів — подання множин за до­помогою бітових рядків. Упорядкуємо довільним способом елементи універ­сальної множини. Нехай універсальна множина U містить п елементів, тоді U= {a1,a2,a3,…an-1,an }•

Множину AcU подають у комп’ютері рядком із 0 і 1 довжиною п так: якщо

ai€А, то і-й біт дорівнює 1, а ні, то 0.

Правила комбінаторного аналізу.

Правило суми. Якщо об’єкт х можна вибрати n способами, а інший об’єкт у — п₂ способами, то можна вибрати або х, або у n + п₂ способами.

Правило добутку. Якщо об’єкт х можна вибрати n1 способами та після кожного такого вибору об’єкт у можна вибрати n2 способами, то пару об’єктів (х, у) у за­значеному порядку можна вибрати n1n2 способами. Це правило можна поясни­ти інакше. Нехай якусь процедуру можна виконати розв’язавши два завдання. Якщо є п₁ способів розв’язати перше завдання та n2 способів розв’язати після цього друге завдання, то всю процедуру можна виконати n1n2 способами.

Обчислення кількості розміщень.

Кількість усіх розміщень без повторень з п елементів по г позначають як A^r_n або А(n, r), де r і n — невід’ємні цілі числа, причому r ≤n. Кількість різних роз­міщень із повтореннями з n елементів по r позначають як A^r_n або А(n,г). Тут r i n — будь-які невід’ємні цілі числа. Кількість усіх сполучень без повторень з n елементів по r позначають як C^r_m , С(n, г) або (n/r), де r і n — невід’ємні цілі числа, причому r≤ n. Кількість усіх сполучень із повтореннями з n елементів по r позначимо як H^r_n або Н(п, г), де г і n — будь-які невід’ємні цілі числа. Чис­ла C^r_n називають біноміальними коефіцієнтами.

Перестановки.

Перестановка з n елементів — це особливий випадок розміщення без повторень з n елементів, коли в розміщення входять усі елементи. Перестановки з n еле­ментів називають також п-перестановками. Окремі n-перестаповки різняться лише порядком елементів. Кількість таких перестановок позначають як Р_n Формулу для Р_n одержують із формули для кількості розміщень без по­вторень: Р_n= Аⁿ_n = n!

Біном Ньютона

Теорема. Нехай n і r – невід*ємні цілі , r≤n . Тоді C^r_n=C^n-r_n

Доведення. С^r_n=n!/[r!(n-r)!] i С^n-r_n=n!/(n-r)![n-(n-r)]!=n!/(n-r)!r!

Отже С^r_n= С^n-r_n .

Теорема(тотожність Паскаля).

Нехай n i k –невід*ємні цілі , k≤n.Тоді

С^k_n= С^k_n-1+ С^k-1_n-1

Теорема(Біномінальна теорема).

Нехай x та y – змінні , n-натуральне число .Тоді (x+y)ⁿ=∑ⁿ_j=0 С^j_nx^jy^n-j=∑ⁿ_j=0 С^j_nx^n-jy^j .

Поліномінальна теорема.

ТЕОРЕМА 2.8 (поліноміальна). Вираз (х, + х₂ +... + х_к)^п дорівнює сумі всіх мож­ливих доданків Рп(п₁ n₂, ..., n_к)xⁿ¹₁ xⁿ²₂ ...x^nk_k , де n₁+ п₂+ ... +n_k = п, тобто

(x₁₊x₂+….+x_k)ⁿ=∑_{n1≥0..nk≥0} p_n(n1…nk)xⁿ¹₁xⁿ²₂...x_k^nk.

Числа Стірлінга.

Числа Ф(n, к) називають числами Стірліта другого роду, а Ф (n) — числами Белла. Очевидно, що

Ф(n) = ∑ⁿ_k=0Ф(n,k).

Рекурентні рівняння.

Числову послідовність (аn) можна задати рекурентним рівнянням (використо­вують також термін рекурентне співвідношення). Таке рівняння описує правило для знаходження елементів послідовності через один або декілька попередніх, причому задано відповідну кількість початкових елементів.

Розв’язком рекурентного рівняння називають послідовність, яка задовольняє це рівняння. Інакше кажучи, послідовність задано рекурентною формулою, а потріб­но знайти явний вираз для а_п через п.

Метод рекурентних рівнянь у комбінаториці полягає у зведенні комбінаторної задачі до аналогічної задачі для меншої кількості об’єктів.

Принцип коробок Діріхлє .

Принцип коробок Діріхле широко застосовують у теорії скінченних автоматів, теорії чисел та інших розділах .

ТЕОРЕМА 2.8 (принцип коробок Діріхле). Якщо k + 1 або більше предметів розкладено в k коробках, то існує принаймні одна коробка, яка містить два чи більше предметів.

Доведення. Припустимо, що жодна коробка не містить більше одного предме­та. Тоді загальна кількість предметів становить щонайбільше k. Це суперечить тому, що є щонайменше k + 1 предмет.

Приклад 2.25. У будь-якій групі з 367 чоловік принаймні двоє народилися в один день (можливо, у різні роки).

Принцип включення (викл).

Цей принцип дає відповідь на запитання, як визначити кількість елементів у об’єд­нанні множин. Для двох множин правдива формула

|AuB| = |A| + |B|-|A∩В|.

ТЕОРЕМА 2.10 (принцип включення-виключення). Нехай А₁ А₂, ..., А_п — скін­ченні множини. Тоді

|A1uA2u….uAn|=∑_1≤i≤n|Ai|-∑_1≤i<j≤n|A_i∩A_j|+∑_1≤i<k≤n|A_i∩A_j∩Ak|-….

+(-1)ⁿ⁺¹|A1∩A2∩…∩An|.

Доведення. Достатньо довести, що кожний елемент в об’єднанні множин урахо­вано в правій частині рівності точно один раз. Припустимо, що елемент а нале­жить рівно r- множинам з А1, А2 ..., An, де 1 ≤ r ≤ n. Тоді цей елемент ураховано C¹_r разів у ∑_1≤i≤n |Ai|,

C²_r разів у ∑_1≤i<j≤n |Ai∩Aj|; загалом його враховано С^mr разів під час сумування членів, які містять перетин m множин Аi. Отже, елемент а вра­ховано точно С¹_r – С²_r + С³_r -... + (-1 )^r+1 С^r_r разів у виразі в правій частині рівності. За властивістю біноміальних коефіцієнтів.

С⁰_r-

Це й означає, що кожний елемент об’єднання множин ураховано в правій час­тині рівності точно один раз.

Зазначимо, що формула включення-виключення містить 2" - 1 доданків, по од­ному для кожної непорожньої підмножини з {А1, А2 Аn„}.