47. Определение внутренних усилий в заданной статически неопределимой системе

Способы определения М, Q, N:

1.найденные из канонических уравнений усилия Х1, Х2, .., Хn прикладываются как дополнительная внешняя нагрузка к статически определимой основной системе. Далее эта система рассчитывается с помощью уравнений равновесия. Этот способ применяется в основном для простейших рам и балок(степень стат неопределимости <2).

+ =0; x₁=-

2.Основная система, эквивалентная заданной уже рассчитывалась на отдельные частные воздействия:

поэтому достаточно собрать результаты отдельных частных расчетов.

– внутренние усилия в основной системе от Хi=1.

Mp, Qp, Np – внутренние усилия в основной системе от внешней нагрузки.

Значения M, Q, N вычисленные по данным формулам часто называют окончательными усилиями основной системы.

Особенности вычисления Q и Nв балках и рамах, работающих на изгиб:

В этих конструкциях перемещения и определялись с учетом только моментов, т.е. и Qp, Np в процессе расчета не определялись.

Для них строим эпюру Qпо эпюре М, а Nпо Q.

Если эпюра М прямолинейна, то удобнее на основании дифференциальной зависимости Q=dM/dz находить Qкак тангенс угла наклона эпюры М.

Если эпюра моментов не прямолинейна, то удобно вырезать участок, приложить к нему нагрузку, а в местах сечений неизвестные Qи известные Mвзять из эпюр и составить уравнение равновесия. Значение Nнаходится из условия равновесия отдельных узлов или частей конструкции.

Мы делали в расчётке:

1. Определить степень статической неопределимости и основную систему

2. Составить систему канонических уравнений

3. Построение единичных и грузовой эпюр

4. Вычисление единичных и грузовых премещений (с проверкой правильности)

5. Решение системы канонических уравнений

6. Построение эпюры M(сумма произведений единичных эпюр на единичные перемещения)

7. Статическая и деформационная проверка эпюры М

8. Построение эпюры Q

9. Построение эпюры N

48 кульман тоже самое что и 47 скинуто

49. Расчет статически неопределимых систем на температурное воздействие

В плоской п раз кинематически неопределимой стержневой системе краевые волокна всех или части элементов испытывают воздействие темпера­турного поля (рис. 20.4,а). Характе­ристиками этого поля для k-го стержня со­оружения являются: перепад приращения температуры по высо­те поперечного сече­ния прираще­ние температуры на уровне его центра тя­жести.

Наложением п угловых и линейных связей образуем основ­ную систему метода перемещений заданного сооружения (рис. 20.4,6). Неизвестные угловые и линейные перемещения его узлов Z₁, Z₂,..., Z;,..., Z_j,..., Z_n определим из условий равенства нулю реакций в наложенных связях от их смещения на величины Z₁… Z₂.. Z... Z_j..... Z_n и от заданного изменения температуры.

Используя принцип независимости действия сил и повторяя выкладки,получим систему канонических уравнений метода перемещений для опре­деления неизвестных Z_b Z₂,..., Z,..... Zj,..., Z_n в случае темпера­турного воздействия на сооружение

r₁₁ Z1+r₁₂ Z2+• • •+r_1i Z₁+• • •+r_ij Z_j+• • •+r_1n Z_n+R_{i t} = 0,

r₁iZi+r₁2Z2+---+r₁₁Zi⁺---⁺r₁jZj+---+r_mZ_n+R₁t = ⁰, f (20.2)

r_ni Zi+r„2 Z2+• • •+r_n; Z+• • •+r_nj Zj+• • •+ r_nn Z„+Rnt - °-

Величины главных r_n и побочных r_u коэффициентов системы уравнений (20.2) не зависят от вида воздействия на сооружение и определяются по-прежнему.

Свободные члены системы канонических уравнений (20.2) Rit - это реакции в i-x наложенных связях от изменения темпера­туры в основной системе метода перемещений. Они определяют­ся по эпюрам внутренних усилий (в рамках и балках - по эпюрам изгибающих моментов), построенным в основной системе от температурного воздействия статическим способом, т.е. из усло­вий равновесия узлов и отдельных частей сооружения.

Эпюра изгибающих моментов M_t от изменения температу­ры в основной системе метода перемещений складывается из двух эпюр: M't - от неравномерных приращений температуры и эпюры М't - от равномерных.

Для построения эпюры изгибающих моментов M't от нерав­номерных приращений температуры Дельта t⁰_nr,k используются стан­дартные задачи.

Равномерное приращение температуры Дельта t⁰_o,k в основной

системе метода перемещений вызывает линейные смещения уз­лов сооружения и, следовательно, перекосы его элементов, чис­ленные значения которых можно получить, используя план пере­мещений. В данном случае при построении этого плана необхо­димо учитывать продольные перемещения стержней, вызванные их равномерным нагреванием или охлаждением. Зная перекосы стержней, эпюру изгибающих моментов М"_t в основной системе метода перемещений построим с помощью стандартных задач, полученных от линейных кинематических воздействий.

Окончательную эпюру изгибающих моментов M_t в заданном сооружении от температурного воздействия после решения сис­темы уравнений (20.2) получим, используя соотношение:

M_t = M1Z1+M2Z2+…+MiZi + …+MjZj+…+MnZn+M1(20.3)В формуле (20.3) M_t = M't + M_t".Эпюры поперечных и продольных сил Q_t и N_t построим по эпюре изгибающих моментов M_t , используя условия равновесия отдельных элементов и узлов заданного сооружения.

Эпюры внутренних усилий M_t, Q_t и N_t, полученные методом перемещений, построены правильно, если выполнена статическая проверка решения задачи, т.е. если все узлы и любые части за­данного сооружения находятся в равновесии.

50. Расчёт стержневых статически неопределимых систем на кинематическое воздействиеВ плоской стержневой системе, степень статической неопределимости которой равна n, имеет место n независимых друг от друга кинематических возмущений, например, смещений линейных и угловых опорных связей (рис. 7.30,а). Жесткостные характеристики поперечных сечений элементов системы любого k-го участка на изгиб EJk, сдвиг GAk и растяжение–сжатие EAk примем постоянными.

Рис.7.30

Удаляя из заданного сооружения n лишних связей (рис. 7.30,б), образуем статически определимую основную систему метода сил (ОСМС). Особое внимание при выборе основной системы следует обращать на удаление связей, получивших в рассчитываемом сооружении перемещение. В частности, при наличии кинематического возмущения линейной связи её отбрасывание недопустимо, так как в этом случае из расчётной схемы основной системы исключается связь с диском "земля", являющимся причиной рассматриваемого линейного смещения по направлению опорной связи. В этом случае в произвольное сечение смещаемой опорной связи вводится поступательный шарнир (рис. 7.30,б – правая вертикальная опора).

Неизвестные метода сил X1, X2, …, Xj, …, Xn определим из условий равенства нулю перемещений по направлениям Xi (i = 1, 2, …, n) в основной системе метода сил от неизвестных этого метода и заданного смещения связей. Повторяя выкладки, приведённые в п. 7.1.2, получим систему канонических уравнений для определения неизвестных метода сил в случае кинематического воздействия на сооружение. Строка i этой системы уравнений имеет вид:

. (7.43)

Главные и побочные коэффициенты системы канонических уравнений определяются по формулам (7.5)–(7.6) в общем случае плоских стержневых систем и формулам (7.8)–(7.9) для рам и балок (см. п. 7.1.2).

Свободный член j-й строки системы канонических уравнений есть перемещение по направлению усилия Xi в i-й удалённой лишней связи в основной системе метода сил от заданного кинематического возмущения. В статически определимой основной системе, принятой для расчёта, указанное перемещение определяется по формуле:

. (7.44)

В формуле (7.44) – реакция в k-й связи, получившей кинематическое воздействие, от Xi = 1 в статически определимой основной системе; – величина кинематического воздействия, например, смещения k-й опорной связи.

Как и при температурном воздействии, значения жесткостных характеристик поперечных сечений элементов сооружения EJk, GAk, EAk не входят в соотношение (7.44). Это значит, что численные значения усилий в лишних связях и, следовательно, внутренних усилий в заданном сооружении, есть функции абсолютных значений жесткостей поперечных сечений стержней.

Вычислив из системы канонических уравнений усилия в лишних связях, мы расчёт статически неопределимого сооружения на кинематическое воздействие (рис. 7.30,а) свели к расчёту статически определимой основной системы метода сил (рис. 7.30,б). Так как кинематическое воздействие в статически определимых сооружениях внутренних усилий не вызывает, то величины изгибающих моментов Мс, поперечных Qc и продольных сил Nc в сечениях заданного сооружения в этом случае определяются только усилиями в лишних связях X1, X2, …, Xj, …, Xn. Имея эпюры внутренних усилий Mj, Qj, Nj от Хj = 1 в основной системе и применяя принцип независимости действия сил, получим:

Mс = M1X1 + M2X2 + … + MjXj + … + MnXn,

Qс = Q1X1 + Q2X2 + … + QjXj + … + QnXn, (7.45)

Nс = N1X1 + N2X2 + … + NjXj + … + NnXn.

83