3.7. Одномерная задача динамического программирования

Задача динамического программирования – это частный случай задачи нелинейного программирования, когда решение может быть получено соответствующим методом. Одной из наиболее простых является следующая нелинейная одномерная распределительная задача.

Необходимо оптимальным образом распределить ресурс в объеме x_o по n вариантам (объектам, схемам, этапам) при целевой функции

и ограничениях

,

где x_i – объем ресурса, назначаемый по i-му варианту (0 x_i  x_о);

f(x)– нелинейная функция, определяющая эффект (затраты) в зависимости от значений x;

n – общее число вариантов; x_общ – общий объем распределяемого ресурса.

Этой моделью описывается задача оптимального распределения однородного ограниченного по количеству ресурса (сырья, машин, денежных средств и т.д.).

Обозначим через x_ci – количество ресурса, назначаемого суммарно по i-му варианту и всем предыдущим вариантам. При этом объем ресурса по предыдущим вариантам распределен оптимально исходя из минимума затрат или максимума эффекта.

Тогда целевая функция Z_i при рассмотрении i-го этапа решения определяется по выражению

Z_i(x_ci, x_i )= f_i(x_i) + f* _i-1 (x_ci - x_i ),

где 0 x_сi  x_общ при i  n-1 и x_сi= x_общ при i = n;

f*_i-1 – функция, определяющая эффект (затраты) оптимальным образом по предыдущим вариантам в зависимости от объема ресурса x_ci-1;

Значение f*_i определяется по Z_i :

для i =1 (x_c1=x₁);

, .

Определение и соответствующих им при данном x_сi производятся поэтапно от i=2 до i=n.

По окончательному результату поэтапных расчетов формируется оптимальное решение {x_оi}:

x_оi= (для i = n);

x_оi = при (для );

(для i=1).

Вариант алгоритма решения однопродуктовой задачи динамического программирования приведен на рисунке 3.24. Решение предусмотрено для целевой функции, подлежащей оптимизации на максимум. Для решения задачи на минимум необходимо ввести исходные значения s_вji с отрицательным знаком или внести изменения в блоках 12 (заменить 1E+12 на -1E+12) и 15 (условие < на >).

Выводимые j, k_jid_x , s_nm представляют соответственно номер варианта, объем ресурса по варианту и значение целевой функции для оптимального решения.

Пример. Банковский кредит может быть использован по 4-м вариантам (n=4). Общий объем кредита x_общ = 800 тыс.ед. Дискретность распределения кредита по вариантам использования dx = 200 тыс.ед. Зависимость эффекта по вариантам использования кредита нелинейна и задана таблично (таблица 3.11).

Таблица 3.11 – Значения эффектов в зависимости от номера варианта i и объема ресурса x

Номер варианта i	Эффект fi (x ) при объемах использования кредита x
	x=0	x=200	x=400	x=600	x=800
1	0	12	21	31	37
2	0	11	22	32	40
3	0	9	20	31	38
4	0	11	21	30	39

Необходимо распределить кредит, чтобы суммарный эффект от его использования был максимальным.

1

Пуск

2

Ввод n, x_oбщ, d_x n – число вариантов распределения ресурса

x_oбщ – общий объем ресурса

d_x – дискретность распределения ресурса

3

m = x_oбщ/ d_x m – число разбиений ресурса

4

s_вji, ; s_вji – эффект (затраты) по j-му варианту

при объеме использования ресурса x_i

5 6

s_1i = s_в1i

k_1i = i

7

8 Да 9 10

Нет

r = m j = n r = 1

11

17

r = m

12 18

p = 1E+12

13

16 19

s_ji =c_l : k_ji =l; p = c_l Вывод j, k_jrd_x

Да

Нет 15 14 20

c_l < p c_l =s_вjl + s_{j-1, i-l} r = r - k_jr

21

Вывод s_nm

Рисунок 3.24 – Алгоритм решения однопродуктовой задачи

динамического программирования 22

Останов

РЕШЕНИЕ.

Имеем целевую функцию = max;

ограничения x_{общ =} x_{1 +} x₂₊ x_{3 +} x₄ = 800; 0 x_i  x_общ,

а также – для одного первого варианта.

На втором этапе (i=2) рассматриваем одновременно распределение ресурса для первого и второго варианта. Результаты расчетов сводим в таблицу 3.12. Значком (*) отмечен столбец, соответствующий оптимальному значению при данном x_ci.

Таблица 3.12 – Расчет при i=2

xci	200		400			600				800
xi	0	200	0	200	400	0	200	400	600	0	200	400	600	800
xci - xi	200	0	400	200	0	600	400	200	0	800	600	400	200	0
	0	11	0	11	22	0	11	22	32	0	11	22	32	40
	12	0	21	12	0	31	21	12	0	37	31	21	12	0
+	12*	11	21	23*	22	31	32	34*	32	37	44*	43	44*	40
	12		23			34				44

На третьем этапе (таблица 3.13) решения рассматриваются одновременно оптимальный вариант по 1-му и 2-му вариантам совместно с третьим вариантом ( i=3).

Таблица 3.13 – Расчет при i=3

xci	200		400			600				800
xi	0	200	0	200	400	0	200	400	600	0	200	400	600	800
xci - xi	200	0	400	200	0	600	400	200	0	800	600	400	200	0
	0	9	0	9	20	0	9	20	31	0	9	20	31	38
	12	0	23	12	0	34	23	12	0	44	34	23	12	0
+	12*	9	23*	21	20	34*	32	32	31	44*	43	43	43	38
	12		23			34				44

Переходим к последнему этапу ( i=4). При этом x_сi = x_о (таблица 3.14).

Исходя из результатов выполнения последнего этапа расчетов следует, что кредит можно использовать с максимальным эффектом, равных 45 тыс.ед., при этом, х_о4 = 200 тыс.ед.

Тогда на 3-й и все предыдущие варианты остается 600 тыс.ед. Оптимальный объем использования кредита по 3-му варианту, как следует из этапа 3 решения, при x_{с i} = 600 равен x_о3 = 0;

на 2-й и все предыдущие остается по прежнему 800-200-0=600. Оптимальный объем использования кредита по 2-му варианту, как следует из этапа 2 решения, при x_{с i} = 600 равен x_о2 = 400.

Таблица 3.14 – Расчет при i=4

xci	800
xi	0	200	400	600	800
xci - xi	800	600	400	200	0
	0	11	21	30	39
	44	34	23	12	0
+	44	45*	44	42	39
	45

Оптимальный объем кредита к использованию по первому варианту определяется как остаток x_о1 =800-200-0-400 = 200.

Ответ: Оптимальное распределение кредита по вариантам использования следующее:

1-й – 200 тыс.ед; 2-й – 400 тыс.ед., 3-й – 0 тыс.ед; 4-й – 200 тыс.ед.