2.2.2. Генерация случайных чисел по различным законам распределения

Генерация случайных чисел основана на том, что интегральная функция распределения F(x) ставит в соответствие любому заданному числу х вероятность от 0. до 1. Тогда наоборот некоторому значению F(x), равному, например r , соответствует определенная величина x (рисунок 2.14):

х = F^-1(r ),

где F^-1 – функция, обратная F.

1.0

F(x)

0.80

0.60 r

0.40

0.20

x_r x

Рисунок 2.14 – Графическая интепретация получения случайных чисел по заданному закону распределения

Отсюда следует способ формирования случайных чисел с заданным законом распределения, называемый методом обратных функций. Метод реализуется как по функциональным, так и аппроксимирующим зависимостям. При этом значения r должны быть распределены в интервале 0. – 1. случайно по равномерному закону.

Для нормального закона распределения применяется также метод, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой большое число n независимых случайных чисел с одним и тем же распределением вероятностей дает нормально распределенные числа с математическим ожиданием, равным сумме этих чисел и геометрической суммой среднеквадратических отклонений:

; .

Формулы для получения случайных чисел по некоторым законам распределения приведены в таблице 2.1.

Псевдослучайные равномерно распределенные числа в интервале 0. – 1.0 можно получать по специальным алгоритмам или применить стандартные функции и подпрограммы языков программирования – RND (Basic), RANDOM (Pascal), RAN, RANDU (Fortran – функция и подпрограмма). Генерируемая последовательность может задаваться с помощью оператора, например RANDOMIZE.

Таблица 2.1 – Получение случайных чисел

Закон рас-пределения	Получение случайных чисел для базового закона	Получение случайных чисел для усеченных (xн<x<xв) или сдвинутых распределений (x>xc)
Равномерной плотности	;	–
Нормальный	а = xм ;  =S	Для усеченного по выражению для базового, если полученное xн<x<xв, иначе попытка повторяется
Логарифми-чески нормальный		Для сдвинутого
Экспонен-циальный	= 1/xм	Для сдвинутого с= 1/(xм -xc)
Релея		Для сдвинутого
Вейбулла	;	Для сдвинутого ;
Эрланга	, k=1, 2, 3,...;	Для сдвинутого , kc=1, 2, 3,...;

Наиболее распространенными способами получения псевдослучайных равномерно распределенных чисел в интервале 0. – 1.0 являются:

мультипликативный;

смешанный;

с использованием числа ;

с использованием тригонометрических функций.

Алгоритм смешанного метода следующий:

1-й вход

r = r_н 0.0 < r_н < 1.0

p = p_н p_н = 8 ^. I 3, I = 2,3,...

П оследу-

r = r p + a- int(r p + a)

ющие

входы выход

Наиболее часто в качестве a принимается число пи (a=).

Мультипликативный метод отличается от смешанного тем, что a=0. В этом случае начальное значение r_н ≠0,5.

При большом числе сгенерированных случайных чисел оценка их математического ожидания должна стремится к 0.5 и среднеквадратическое отклонение к .

Пример. Получить зависимость для генерации случайных чисел по экспоненциальному закону распределения.

Интегральная функция экспоненциального распределения имеет вид

, x  0

где  – параметр распределения (  = 1/ x_м , x_м – оценка математического ожидания случайной величины).

Для получения случайного числа x по r приравняем выражение для F(x) и величину r и выразим x:

;

;

;

.