3) Критерий Колмогорова

Статистика критерия Колмогорова определяется максимальным отклонением по границам интервалов между теоретической F(Х_j) и эмпирической F_э(Х_j) функциями распределения (рисунок 2.13).

1.0 1

F(x),F_э(x)

0.60

40. 2

0.20

X_min X_max x

X₀ X₁ X₂ X₃ X₄ X_j (j=N=5)

Ринунок 2.13 – Эмпирическая (1) и теоретическая (2) функции распределения

Для этого для каждого значения Х_j вычисляется модуль разности между эмпирической и теоретической функциями распределения abs(F (Х_j)- F_э (Х_j)) и затем из всех рассчитанных значений находится максимальная величина

.

Вычисляется значение статистики критерия Колмогорова

.

Полученное значение статистики  необходимо сравнить с табличным. При принятых значениях уровня значимости  (0.1–0.2) по таблице определяют критическое значение  _ и проверяют условие

 <  _ .

При выполнении условия гипотеза о распределении случайной величины по предполагаемому теоретическому закону по критерию Колмогорова может быть принята, в противном случае – отклонена. При больших значениях  требования к согласованности распределений повышаются.

Табличные значения критерия Колмогорова следующие:

Уровень значимости 	0.40	0.30	0.20	0.10	0.05
Значение критерия  	0.89	0.97	1.07	1.22	1.36

4) Критерий Мизеса-Смирнова

Критерий Мизеса-Смирнова в отличие от критерия Колмогорова, который основывается на максимуме абсолютной величины разности между эмпирической и теоретической функциями распределения, использует статистику в виде суммы взвешенных через весовую функцию квадратов разностей между эмпирической и теоретической функциями по всем наблюдаемым значениям случайной величины

,

где F(x) – теоретическая функция распределения;

F_э(x) – эмпирическая функция распределения;

g(F(x)) – весовая функция.

Обычно используют весовые функции двух видов: g(F(x))=1, при которой все значения функции распределения обладают одинаковым весом, и

, при которой увеличивается вес наблюдений на концах распределения.

Ниже рассматривается критерий при весовой функции второго вида.

После выполнения интегрирования выражение для расчета статистики критерия имеет вид ,

где x_i – результаты наблюдений, отсортированные по величине (x _i  x _{i +1}).

Полученное значение статистики ω² сравнивается с табличным значением ω²_. Значение  принимается на уровне 0.1– 0.2. Табличное значение критерия при =0.1 составляет ω²_ =1.94 и при =0.2 – ω²_ =1.42. Если рассчитанное значение статистики больше табличного, то гипотеза о согласованности отвергается, и если нет – то принимается.

Компьютерная программа для исследования распределения случайных величин приведена в приложении 2. Состоит из головной программы и модулей для исследования распределения непрерывных и дискретных величин.