Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Кафедра "Организация автомобильных перевозок и

дорожного движения"

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по дисциплине "Математические модели в транспортных системах"

для студентов специальностей 1-44 01 01

"Организация перевозок и управление на автомобильном и городском транспорте" и

1-44 01 02 "Организация дорожного движения"

Минск 2007

УДК 656.073:681.142

Рецензенты:

В пособии рассматриваются математические модели в транспортных системах, излагаются методы их исследования и принятия оптимальных решений. Приводятся алгоритмы и компьютерные программы для решения рассматриваемых задач. Предназначена для студентов специальностей 1-44 01 01 "Организация перевозок и управление на автомобильном и городском транспорте" и 1-44 01 02 "Организация дорожного движения".

С В.Н.Седюкевич, 2007

С БНТУ, 2007

Введение

Цель дисциплины "Математические модели в транспортных системах" – изучение методов исследования и оптимизации транспортных систем, в том числе с использованием вычислительной техники (компьютеров).

В результате изучения дисциплины должны быть освоены способы построения математических моделей, их исследование и моделирование на компьютерах; усвоены методы решения оптимизационных задач; развиты навыки и приобретено умение разработки алгоритмов и компьютерных программ, а также использования функционально и проблемно ориентированных пакетов прикладных программ для принятия решений.

Материал дисциплины базируется на ранее полученных математических, инженерно-технических знаниях, в частности, при изучении дисциплин "Математика" и "Информатика".

Изложение материала дисциплины производится применительно к организации перевозок и управлению на транспорте.

Изучаемые вопросы содержатся в рекомендуемой основной и дополнительной литературе.

Полученные знания используются в инженерной практике при транспортной деятельности. Задачи с использованием математических моделей и методов применяются на транспорте при решении перспективных вопросов, проектировании транспортно-технологических схем, оперативном планировании и управлении перевозками и разработке технических нормативов:

• прогнозирование объемов перевозок и технико-эксплутационных показателей;

• обоснование структуры парка транспортных средств;

• поиск кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети;

• распределение и оптимизация поставок ресурсов;

• маршрутизация перевозок;

• выбор транспортных средств и схем перевозок;

• закрепление маршрутов перевозок за предприятиями транспорта;

• распределение транспортных средств по объектам перевозок;

• разработка графиков и расписаний, согласование работы транспортных средств и терминалов;

• обоснование норм времени элементов технологических процессов с учетом случайности, согласования и упорядочения работ, применения зависимостей существующих связей между влияющими факторами и нормой.

Математические модели и методы закладываются в основу алгоритмов функционирования автоматизированных рабочих мест (АРМ) по организации перевозок и управлению на транспорте. Функции АРМ предусматривают решение ранее перечисленных и некоторых других задач (учетных, информационных). Применение математических методов и компьютерных технологий при научных исследованиях, решении задач планирования и управления производством способствуют ускорению научно-технического прогресса.

При изучении дисциплины разработка компьютерных программ ориентирована на такие алгоритмические языки как Бейсик и Паскаль. Кроме того, применяются готовые программные продукты для персональных компьютеров.

1. Основы исследования систем и принятия решений

1.1. Постановка задач принятия решений и разработка моделей

При решении задач организации производственных процессов и управления ими используются методы математического моделирования и оптимизации на основе системного подхода. Принятие решений основывается на формализованном описании задачи, количественном анализе влияющих факторов и достигаемых целей. Решение получают на основе применения методов оптимизации. Ряд методов объединяется под названием "исследование операций". При транспортной деятельности решения могут приниматься также на основе транспортной логистики.

Принятие решений включает разработку математической модели задачи, исследование модели и нахождение оптимального решения, анализ и синтез полученных результатов.

Оптимальное – это такое решение, которое обеспечивает экстремум (максимум, минимум) целевой функции (критерия оптимальности) при выполнении заданной системы ограничений.

Критерии оптимальности должны быть представительными, чувствительными к изменениям оптимизируемых параметров и как можно более простыми. Цель может быть правильно сформулирована только с позиций надсистемы.

Под системой понимается множество подсистем (объектов, подразделений), которые функционируют как единое целое по выполнению поставленной цели.

Системный подход предполагает учет всех факторов, влияющих на решение задачи, в том числе и взаимодействие с внешней средой. Он состоит в том, что, опираясь на понимание функционирования системы как единого целого, исследуются внутренние связи между отдельными элементами и внешние связи с другими системами и объектами.

Модели служат отображениями (прообразами) реальных систем, процессов, явлений; могут быть физические и математические. Математические модели представляют собой описание задачи в виде совокупности соотношений (уравнений, неравенств, логических условий), определяющих связи между параметрами функционирования исследуемой системы, ограничения и критерий оптимальности.

Модель должна быть как можно более адекватна оригиналу. Понятие адекватности модели связано с такими общими кибернетическими терминами как "черный ящик", изоморфизм, гомоморфизм.

"Черный ящик" – это система, в которой доступны наблюдению только внешние входные и выходные параметры, а внутреннее устройство неизвестно. Исследуется по связям между значениями входных и выходных параметров.

Системы, характеризующиеся одинаковыми наборами входных и выходных величин (одинаково реагирующие на внешние воздействия), независимо от их внутренней структуры, называются изоморфными. В силу изоморфности систем исследование "черного ящика" не может привести к однозначному выводу о внутренней структуре системы. Любая из изоморфных систем может рассматриваться как модель остальных.

Система, полученная из исходной путем упрощения, является ее гомоморфной моделью. Математическая модель, как правило, находится в гомоморфном отношении к реальному объекту. Она должна отражать связи между входными и выходными параметрами системы и является основой для вычисления значений критериев и проверки ограничений.

Если факторы, от которых зависит функционирование системы, разделить на известные A= {a₁, a₂, ..., a_m}, на которые влиять нельзя, и управляемые X= {x₁, x₂, ..., x_k}, учесть получаемые выходные параметры Y = {y₁, y₂, ..., y_n}, заданный вектор целевой функции Z= {z₁, z₂ ,..., z_p} и ограничения O={o₁, o₂, ..., o_s}, то имеем:

Y=F(A,X);

;

O=G(А,X,Y)<>=0,

где F, Z, O – функции.

Формулировка задачи принятия решений следующая:

при заданных условиях А требуется найти такие значения элементов вектора Х, при которых вектор целевых функций Z обращается в максимум (минимум) и выполняются ограничения O.

Когда не все условия, в которых происходит функционирование системы заранее известны, то имеется еще один набор факторов U= {u₁, u₂,...,u_r}. Это переводит задачу в другую категорию – принятие решения в условиях неопределенности. Формулировка задачи следующая:

при заданных условиях А с учетом неизвестных параметров (факторов) U найти такие значения элементов вектора Х, которые дают экстремум вектора целевых функций Z при выполнении заданных ограничений O.

Ограничения, накладываемые на управляемые, неуправляемые и выходные параметры, могут быть связаны с лимитом ресурсов, обеспечением безопасности, являться следствием физических законов.

Решение поставленной задачи достигается по алгоритмам соответствующих методов оптимизации.

Анализ и синтез оптимального решения производится путем сопоставления вариантов на основе многокритериального подхода.

Для исследования математических моделей используются компьютеры. Необходимость применения последних возникает при обработке информации, использовании численных методов, методов случайного поиска и имитационного моделирования работы систем.