13. Потоки Эрланга.

Потоки, для которых нарушаются условия стационарности или отсутствия последействия.

Потоком Эрланга k-ого порядка называется поток, получающийся в результате сохранения каждого k-ого события в простейшем потоке. При k = 1 поток Эрланга – простейший. С увеличением числа k последействие возрастает. При k → ∞ поток приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом между событиями

Дифференциальный закон распределения потока Эрланга

Интенсивность отказов при потоке Эрланга

14.Критерии надежности восстанавливаемых систем. 1 и 2 класс систем.

Первый класс систем

К данному классу относятся системы, которые по условиям не могут ремонтироваться во время работы.

От системы требуется безотказная работа в течение заданного времени (в течение заданной наработки): P₁(t)=P(t).

Второй класс систем

- системы, которые должны в произвольный момент времени быть готовыми к работе и не иметь неисправностей в течение заданного времени. Обычно этот класс систем находится в состоянии готовности, а используется кратковременно, в случае необходимости. Аппаратура систем второго класса ремонтируется во время эксплуатации.

Характеристикой таких систем является вероятность успешного использования:

P(τ,t)=K_Г P(τ),

где K_Г – коэффициент готовности,

t - момент начала использования системы,

τ –время необходимое для решения данной задачи,

P(τ,t) – вероятность того, что система в момент времени t будет в исправном состоянии и безотказно работает в течение времени τ,

P(τ) – вероятность безотказной работы в интервале времени τ.

15. Критерии надежности восстанавливаемых систем. 3 класс систем.

- системы, в которых аппаратура используется непрерывно и набольшую часть времени работает безотказно.

При использовании ЭВМ желательно получить наибольший % полезного рабочего времени в пределах каждого рабочего цикла. Характеристикой, учитывающей возможность восстановления аппаратуры после появления отказов является коэффициент готовности: P_III(t)=K_Г (t)

Системы должны отвечать требованию высокой степени ремонтопригодности.

Вывод коэффициента готовности

Поток отказов системы носит пуассоновский характер и интенсивность отказов равна λ. Время восстановления системы является случайной величиной, распределенной по по экспоненциальному закону: F(x)= 1 – e ^-µx.

Система может находиться в двух состояниях:

• состоянии x(t)=1- работоспособное состояние,

• состоянии x(t)=2 – состояние ремонта.

Интервалы времени в течение которых система работоспособна и ремонтируется распределены по показательному закону с параметрами λ и µ соответственно.

Состояния системы и переходы из оного состояния в другое представлены в виде графа переходов.

Вершины графа – состояния системы.

Дуги – направления переходов системы. На дугах обозначены вероятности переходов за бесконечно малый промежуток времени.

Вероятности переходов в силу предположений о показательном законе распределения не зависят от момента времени t.

Вероятности нахождения системы в состоянии 1 и 2 обозначим как p₁(t) и p₂(t).

Для любого момента времени p₁(t) + p₂(t)=1.

Рассмотрим поведение системы в интервале времени [0,t+Δt]. Тогда система в момент времени t+Δt будет находиться в состоянии 1, если

• система в момент t находилась в этом состоянии и за время Δt не наблюдалось отказов,

• система в момент t находилась в состоянии 2 и за время Δt ее ремонт был закончен.

Предельный переход Δt→0 дает дифференциальные уравнения, описывающие поведение системы во времени.

Решая, систему уравнений получаем дифференциальное уравнение для искомых вероятностей

Общий интеграл уравнения позволяет оценить вероятности состояния в зависимости от начального состояния

Нахождение системы в состоянии ремонта при условии, что в начальный момент времени система была или работоспособна, или неработоспособна

Рассмотрев полученные ранее уравнения, можно придти к выводу, что при t→∞ уравнения придут к виду:

Оценка системы по коэффициенту готовности:

При сравнении систем по коэффициенту готовности необходимо учитывать другие показатели рассматриваемой системы:

• стоимость;

• вес;

• габариты;

• эксплуатационные расходы и т.п.

Пример:

Анализ работы АСУ на примере вычислительной системы, выполняющей случайные задания.

Задание не будет выполнено, если:

• заявка на решение задачи придет в момент, когда машина в ремонте;

• во время решения задачи происходит отказ.