1. Математическое ожидание непрерывной
случайной величины.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины 
,
возможные значения которой принадлежат
отрезку [a,b], называют определенный
интеграл
Если
возможные значения принадлежат всей
оси 
,
то 
2. Дисперсия непрерывной случайной величины.
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Если
возможные значения
принадлежат
отрезку 
,
то
если возможные значения принадлежат всей оси х, то
Для вычислений более удобны формулы:
Среднее квадратическое отклонение непрерывной
случайной величины определяется, как
и для величины дискретной,
равенством 
.
Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин.
Задача 1. Случайная величина задана интегральной функцией
Найти
математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение
.
Построить графики функций 
и 
.
Решение: Найдем дифференциальную функцию :
Найдем математическое ожидание
Найдем дисперсию случайной величины Х:
;
Построим графики функций и
Ответ: 
12. Нормальное распределение, правило трёх сигм.
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.
Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:
Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:
Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.
Это правило называется правилом трех сигм.
Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.
Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 –математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.
Плотность распределения имеет вид:
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).
Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.
Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.
Или другое обьяснения 3-х сигм
Преобразуем формулу
Введем обозначение
Тогда получим:
Если t=3, то
т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:
Если
случайная величина распределена
нормально, то абсолютная величина ее
отклонения от математического
ожидания не превосходит утроенного
среднего квадратического отклонения.
На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.