Семестр 02 / Лекции по физике / 1_Garmon

Механика  

Лекция №1

Механика. Колебательное движение.

© 2004 Ёлкин Сергей Владимирович

Комплексные числа

Комплексным числом z называется число вида:  z = х + iy, где х и y – вещественные числа,  i2=-1.  Причём х называется вещественной частью комплексного числа, и обозначается так

            ,

а у называют мнимой частью и обозначают

Комплексно сопряжённым числом  называется число вида z* = х – iy.

Комплексное число можно задать с помощью декартовых координат на плоскости или с помощью полярных:

                     (1)

Здесь число ρ называется модулем комплексного числа и обозначается |z|, а φ – аргументом комплексного числа. Так же модуль можно получить умножением z на z*:

            z z*=( х + iy )( х - iy )=x2+y2= z2 = ρ2.                                                                    (2)

Z можно представить в тригонометрической форме

            .                                                 (3)

Два комплексных числа считаются равными, если равны их вещественные и мнимые части. Модули двух равных комплексных чисел раны между собой, а аргументы могут отличаться на 2π:

            .

Если комплексное число равно своему сопряжённому числу, то это число вещественное:

            z=z*=x.                                                                                                                      (3а)

В математике доказывается, что комплексное число можно выразить через мнимую экспоненту:

      (4)

А косинус и синус выражаются через экспоненты следующим образом:

                                                                 (5)

            При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются их вещественные и мнимые части:

Перемножение комплексных чисел лучше всего производить, беря их в показательной форме:

                                                                       (6)

            Аналогично осуществляется деление:

            .                                                                                           (7)

Гармонические колебания

            Гармоническими называют колебания, которые описываются по времени косинусом или синусом.

            Рассмотрим механическую систему положение которой задаётся одной переменной – её называют степенью свободы. Пусть система находится в положении устойчивого равновесия в некоторой точке хо. Это значит, что график потенциальной энергии имеет в окрестностях этой точки минимум. Будем рассматривать только такие движения, для которых отклонения х от положения равновесия малы.

            Сдвинем систему координат так, что бы в этой точке U(0)=0, и U’(0)=0 –  как для экстремума.

            Разложим функцию в ряд в окрестностях нуля

                                                                 (8)

так как отклонения малые, то возьмём только первые три члена разложения – остальные члены будут малы по сравнению с ними. Учтём, что U(0)=0 и U’(0)=0 и что

            ,

окончательно запишем

.

Сила равна . Такая сила всегда будет так действовать, что бы вернуть систему в положение равновесия. Не зависимо от их природы такие силы называют квазиупругими.

Рассмотрим пример такой системы шарик на пружине. Массой пружины пренебрежём по сравнению с массой шарика. В положении равновесия mg=kΔlo .

Растянем пружину на величину Х , и выведем тем самым  шарик из равновесия. Под действием силы упругости шарик начнёт двигаться в сторону положения равновесия. Запишем 2 закон Ньютона:

Разделив уравнение на k и обозначив получим:

                                                                                                     (9)

однородное дифференциальное уравнение второго порядка c постоянными коэффициентами. Такие уравнения решаются с помощью подстановки

            .                                                                                                                (10)

Подставим (10) в (9) и получим после сокращения на экспоненту уравнение, которое называют характеристическим

                                                                                                                    (11)

Найдём его корни

Так как корни разные, то функции

  и 

будут линейно независимыми и полное решение уравнения запишется в виде их суперпозиции:

.                                                                                        (12)

Здесь С1 и С2 комплексные постоянные. Однако функция, описывающая колебания должна быть вещественной. Для этого коэффициенты С1 и С2 необходимо выбрать так что бы выполнялось условие (3а):

,                                               (13)

комплексная величина равна своей комплексно сопряжённой.

Соотношение (13) будет выполнено если С1=С2* и С2=С1*. Подберём такие коэффициенты в виде

                                                                    (14)

Подставим эти коэффициенты в уравнение (12) и воспользуемся формулами (5):

.                                                    (15)

Это общий вид решения уравнения гармонических колебаний (9), где а и α – некоторые постоянные. Их находят из начальных условий. Так как постоянных две то и начальных условий должно быть не менее двух. Напомним, что начальными условиями называются значения величин, в данном случае координаты и скорости, заданные в начальный момент времени. Например:

.                                                                                            (16)

Подстановка их в уравнение (15) даёт два уравнения:

решая их совместно можно найти неизвестные константы.

Таким образом, полностью однозначное решение можно получить, только решая уравнение и подставляя в него начальные условия.

Заметим, что переменной величиной может быть не только координата, но и многие другие величины, например, угол, заряд, напряжение, ток, давление, сила ит.д.

Основные характеристики колебательного процесса.

График гармонического колебания имеет вид.

Величина наибольшего отклонения от положения равновесия называется АМПЛИТУДОЙ.

Величина (ω0t+α) называется ФАЗОЙ , а постоянная α-начальной фазой.

Начальная фаза определяется в момент времени t=0, следовательно, её значение определяется выбором начала отсчёта времени. Так как значение х не меняется при добавлении 2π, то значения α обычно выбирают в пределах от –π до +π.

Так как косинус периодическая функция то её значения повторяются через промежуток времени Т , за который фаза меняется на 2π. Следовательно

отсюда

            ,                                                                                                                   (17)

этот промежуток времени называется периодом колебаний.

            Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания, и связано с периодом следующим соотношением:

            .                                                                                                                      (18)

            За единицу частоты принимают такую частоту, период колебания которой равен 1с.

Эту единицу называют герцем.  Величину ω называют круговой  или циклической частотой.

            .                                                                                                                  (19)

            Скорость и ускорение колебательного процесса.

            Продифференцировав по времени уравнение (15) получим скорость:

            Как видно скорость тоже изменяется по гармоническому закону, но при этом амплитуда изменяется в  ω0 раз, а фаза увеличилась на π/2. То есть скорость опережает смещение на π/2.

            Продифференцировав скорость по времени, получим выражение для ускорения:

            .                             (20)

Отсюда видно, что смещение и ускорение отличаются на π, тогда говорят, что они находятся в противофазе. Это хорошо видно из графика.

x

v                                                                                            t

w                                                                                            t

                                                                                                          t

Энергия гармонических колебаний

Квазиупругая сила является консервативной и поэтому энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В моменты наибольшего отклонения от положения равновесия кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна.

.                                                                                                             (21)

И наоборот в моменты прохождения положения равновесия потенциальная энергия минимальна (равна нулю), а кинетическая энергия максимальна:

.                                                                                           (22)

Здесь косинус равен единице, так как скорость максимальна и равна амплитуде. Так как k=mω02 , то эти два выражения равны друг другу.

Однако, интересно установить как меняется энергия от времени. Подставим в выражения для энергий соответствующие формулы для смещения и скорости.

                                                                     (23)

 Если сложить эти два выражения, то получим полную энергию колебаний в данный момент времени:

     То есть мы ещё раз убедились, что ПОЛНАЯ энергия колебаний величина постоянная и не меняется от времени, если отсутствуют диссипативные силы.

Воспользовавшись формулами тригонометрии можно перейти от квадратов синуса и косинуса к двойным углам:

Отсюда хорошо видно, что энергия изменяется с частотой 2ω0 около значения

,

что и отражено на графике.