Семестр 02 / Лекции по физике / 3_Zatuh

Лекция №3

©2004 Ёлкин Сергей Владимирович

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Если материальная точка совершает колебания как вдоль оси х, так и вдоль оси у, то она будет двигаться по криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз этих колебаний. Выберем начало отсчёта так, что бы начальная фаза первого колебания была равна нулю.

(1)

Исключим из уравнений параметр t. Для этого запишем:

(2)

Теперь воспользуемся уравнением для косинуса суммы:

Далее разделим на b, перенесём налево и возведём в квадрат:

,

. (3)

Это уравнение эллипса в повёрнутых осях. Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

1.Разность фаз равна нулю.

, (4)

откуда получается уравнение прямой:

.

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой, с той же частотой ω и амплитудой .

2.Для фазы α=±π уравнение имеет вид

.

Откуда получается уравнение прямой:

. (5)

3. Для фазы α=±π/2 уравнение (3) превращается в уравнение эллипса приведённого к координатным осям:

. (6)

Полуоси данного эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд он вырождается в окружность.

Случай α=+π/2 соответствует движению по эллипсу по часовой стрелке, а случай α=-π/2 соответственно против часовой стрелки.

4. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину угловой частоты, то их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно меняющейся фазой.

(7)

Результирующее движение происходит по медленно изменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму всех кривых, отвечающих всем значениям разности фаз от –π до +π.

Если частоты колебаний сильно различаются, то траектории движения будут иметь сложный вид. Их называют фигуры Лиссажу. Cм. рисунок.

Затухающие колебания

Во всякой реальной системе имеются силы сопротивления, уменьшающие энергию системы. Если убыль энергии не восполняется, то колебания будут затухать. Рассмотрим часто встречающийся случай когда сила трения пропорциональна скорости

, (8)

здесь r-коэффициент сопротивления. Знак минус означает, что сила и скорость противоположно направлены. Уравнение Ньютона имеет вид:

. (9)

Разделим уравнение на массу, и применив обозначения

перепишем уравнение в следующем виде

. (10)

Это уравнение описывает затухающие колебания системы.

Что бы решить его сделаем подстановку и получим характеристическое уравнение:

(11)

Корни уравнения равны:

(12)

Если затухание мало , то выражение под корнем будет отрицательным и сделав переобозначение

(13)

можно записать корни в виде:

. (14)

Общим решением уравнения будет линейная комбинация экспонент:

. (15)

Здесь мы воспользовались тем, что для выражения значение было найдено в предыдущей лекции. Величины а и α постоянные, находимые из начальных условий.

Важное замечание. Решение содержит две разных частоты. Величина ω_о называется собственной частотой системы, ω –частотой свободных колебаний.

Свойства затухающих колебаний

1. Движение системы можно рассматривать как гармонические колебания с амплитудой изменяющейся по экспоненциальному закону .

Начальное смещение зависит также от начальной фазы: .

2. Скорость затуханий определяется величиной β, которую называют коэффициентом затухания. Он обратно пропорционален времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Действительно подставим в амплитуду такое время τ:

(16)

3. Период затухающих колебаний равен

(17)

Из формулы видно, что при увеличении β период увеличивается. При β=ω_о период стремится к бесконечности. Это значит, движение перестаёт быть периодическим. При дальнейшем увеличении β > ω_о корни характеристического уравнения (11) становятся вещественными, и движение может быть только апериодическим, то есть таким, что выведенная из положения равновесия система возвращается в исходное состояние не совершая колебаний.

4. Амплитуды на рис.1 образуют геометрическую прогрессию

Воспользовавшись этим, определяют полезную величину - декремент затухания:

и логарифмический декремент затухания

.

Внимание! Не путать с λ в уравнениях (11,12,14).

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Что бы убедиться в этом, заменим в амплитуде β=λ/T и запишем условие

, (18)

здесь N_e число колебаний совершаемых системой за время τ.

5. Добротность колебательной системы, величина, пропорциональная числу колебаний совершаемых системой за время в течении которого амплитуда уменьшается в е раз и равна:

. (19)

Энергия затухающих колебаний

Подставим решение для затухающих колебаний в формулу для полной энергии, колеблющейся системы (и учтём, что mω₀ ²=k):

Дальнейшие упрощения формулы нас не интересуют. (Окончательную формулу можно посмотреть в Савельеве, том 1, глава 7, параграф 58.). Для нас здесь важно, что при малом затухании первым членом формулы является экспонента.

Примерный график этой функции (20) приведён ниже.

Убывание полной энергии обусловлено тем, что система не замкнута и сила сопротивления среды совершает работу.

При малом затухании, когда β<<ω_o в формуле (20) можно пренебречь всеми слагаемыми содержащими отношение β/ω. Тогда энергия будет изменяться по приблизительному закону:

, (21)

где E_o =ka_o ² /2 – начальная энергия.

Продифференцировав по времени и заменив знак, найдём скорость убывания энергии

(22)

Если энергия мало изменяется за время равное периоду колебаний, то можно в этой формуле перейти к конечным величинам:

,

теперь учтя формулу и формулу получим:

. (23)

Вывод. При слабом затухании добротность равна, с точностью до постоянного множителя, отношению энергии запасённой в системе в данный момент к убыли этой энергии за один период колебаний.