Семестр 02 / Лекции по физике / 4_Vynugd
.htmЛекция №4 Лекция №4
©2004 Ёлкин Сергей Владимирович
Колебания систем под действием гармонической вынуждающей силы
Если на систему действует сила, изменяющаяся по гармоническому закону, то уравнение Ньютона имеет вид:
. (1)
Разделим на массу и введём обозначения
(2)
запишем уравнение в следующем виде
(3)
это уравнение называется неоднородным, так как в правой части его стоит функция. В математике доказывается, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного (т.е. без произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы получили на предыдущей лекции:
.
Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения. В первой и второй лекциях мы использовали подстановку eλt. Однако в уравнении (3) справа стоит косинус и это осложнит наши вычисления. Хотелось бы, что бы и там была экспонента. Для этого пользуются следующим приёмом. Прибавляют к правой части слагаемое в виде :
. (4)
Это уравнение в комплексных переменных.
Можно просто сразу взять уравнение в комплексных переменных (а не совершать шаманских плясок):
, (4а)
найти его решение, а потом взять от решения вещественную часть.
Будем искать частное решение в виде
, где а комплексное число. (5)
Продифференцируем эту функцию дважды по t, получим:
.
Теперь подставим в уравнение (4) и сократив на экспоненту получим:
.
Отсюда получим:
. (6)
При таком а функция (5) удовлетворяет уравнению (4а). Однако, нам нужно вещественное выражение. Представим знаменатель выражения (6) в показательном виде.
(7)
Это легко понять из рисунка.
Подставим в (6) получим
Теперь подставим в (5)
.
Взяв вещественную часть от этого выражения, получим частное решение уравнения (3):
. (8)
Подставив значения для fo, φ, ρ получим окончательно:
(9)
Это уравнение не имеет произвольных постоянных и является частным решением неоднородного уравнения (3).
Получим это решение ещё одним способом – с помощью векторной диаграммы. Для этого предположим, что частное решение имеет вид:
(10)
Возьмём от него первую и вторую производные:
(10.1)
Теперь подставим их в уравнение (3)
Из вида этого выражения следует, что постоянные а и φ должны имеет такие значения, чтобы гармоническая функция foCosωt была равна сумме трёх слагаемых гармонических функций, стоящих в левой части уравнения. Изобразим ω2oaCos(ωt-φ ) вектором длины ω2oa направленным вправо, тогда изобразиться вектором длинны 2βаω, повернутым на π/2 против часовой стрелки, а - вектором длинны ω2 a, повернутым на угол π.
Что бы уравнение было удовлетворено, сумма трёх векторов должна быть равна вектору, отображающему функцию foCosωt. Это возможно, если амплитуда а определяется из условия (т. Пифагора):
((ω2 - ωo2)a)2+(2βωa)2=(fo)2, (11)
откуда
(12)
Где .
На рисунке рассмотрено два случая: Рис.А- когда ω<ωo, и Рис.Б- когда ω>ωo.
Рисунки позволяют также получить значение φ – величину отставания по фазе вынужденного колебания от вынуждающей силы:
. (13)
Таким образом, мы получили те же самые значения для а и φ.
Общее решение уравнения (3) имеет вид:
. (14)
Первое слагаемое даёт заметный вклад в поведение системы только в начальной стадии процесса при установлении колебаний. Из-за экспоненциального множителя с течением времени его вклад уменьшается и по прошествии достаточного времени им и вовсе можно пренебречь. Таким образом, второе слагаемое описывает установившиеся вынужденные колебания.
Свойства установившихся вынужденных колебаний.
1. Это колебания с частотой вынуждающей силы.
2. Амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы.
3. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.
Резонанс
Зависимость амплитуды от частоты приводит к тому, что при определённой для данной системы частоте амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а частота – резонансной частотой.
Что бы определить резонансную частоту нужно найти минимум подкоренного выражения в формуле:
Продифференцируем по ω и приравняем к нулю:
(15)
Уравнение имеет 3 решения: ω=0 соответствует максимуму знаменателя и значит минимуму амплитуды. Решение
, не имеет физического смысла, так как частота величина положительная, а решение
(16)
как раз и дает нам максимум амплитуды.
Подставив это выражение в амплитуду, получим значение амплитуды при резонансе:
(17)
Свойства резонансных кривых
1. При отсутствии затухания β=0, резонансная частота совпадает с собственной частотой системы ωрез =ωо. При этом амплитуда стремиться к бесконечности.
2. Резонанс вообще наблюдается только при β< ωо, в противном случае подкоренное выражение в (16) становится мнимым.
3. При стремлении ω к нулю амплитуда становится равной -смещению из положения равновесия под действием вынуждающей силы.
4. При стремлении ω к бесконечности (ω>>ω0) все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.
5. Чем меньше затухание, тем острее пик в районе резонанса.
6. При малом затухании амплитуда имеет вид
(18)
Если разделить его на хо (смещение из положения равновесия) то получим добротность
, (19)
Таким образом, добротность показывает во сколько раз амплитуда в момент резонанса, превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы.
7. Из графика так же видно, что значения резонансных частот всегда меньше чем собственная частота системы.
Фазовые кривые
Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы:
.
Причем величина отставания зависит как от ω так и от β, и лежит в пределах от 0 до π.
При частотах меньше собственной отставание меньше π/2, при частоте вынуждающей силы равной собственной частоте системы разность фаз равна π/2.
При частоте больше собственной отставание по фазе стремиться к π.
Явление резонанса может быть как вредным, так и полезным. Например, при попадании в резонанс машины и устройства могут разрушиться. В авиации разрушение самолёта в воздухе под действием вибраций, возникающих при обтекании потоков воздуха при определённых скоростях, называют ФЛАТТЕРОМ.
В то же время резонанс с успехом используют в радиотехнике для выделения частот колебаний, в акустике итд.
Оказывается можно сильно раскачать систему, т.е привести в резонанс, если периодически изменять какой либо параметр системы. Такое явление называется параметрическим резонансом.