Семестр 02 / Лекции по физике / 4_Vynugd

Лекция №4

©2004 Ёлкин Сергей Владимирович

Колебания систем под действием гармонической вынуждающей силы

Если на систему действует сила, изменяющаяся по гармоническому закону, то уравнение Ньютона имеет вид:

. (1)

Разделим на массу и введём обозначения

(2)

запишем уравнение в следующем виде

(3)

это уравнение называется неоднородным, так как в правой части его стоит функция. В математике доказывается, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного (т.е. без произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы получили на предыдущей лекции:

.

Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения. В первой и второй лекциях мы использовали подстановку e^λt. Однако в уравнении (3) справа стоит косинус и это осложнит наши вычисления. Хотелось бы, что бы и там была экспонента. Для этого пользуются следующим приёмом. Прибавляют к правой части слагаемое в виде :

. (4)

Это уравнение комплексных переменных. Будем искать его частное решение в виде

, где а комплексное число. (5)

Продифференцируем эту функцию дважды по t, получим:

.

Теперь подставим в уравнение (4) и сократив на экспоненту получим:

.

Отсюда получим:

. (6)

При таком а функция (5) удовлетворяет уравнению (4). Однако, нам нужно вещественное выражение. Представим знаменатель выражения (6) в показательном виде.

(7)

Подставим в (6) получим

Теперь подставим в (5)

.

Взяв вещественную часть от этого выражения, получим частное решение уравнения (3):

. (8)

Подставив значения для f_o, φ, ρ получим окончательно:

(9)

Это уравнение не имеет произвольных постоянных и является частным решением неоднородного уравнения (3).

Получим это решение ещё одним способом – с помощью векторной диаграммы. Для этого предположим, что частное решение имеет вид:

(10)

Возьмём от него первую и вторую производные:

(10.1)

Теперь подставим их в уравнение (3)

Из вида этого выражения следует, что постоянные а и φ должны имеет такие значения, чтобы гармоническая функция f_oCosωt была равна сумме трёх слагаемых гармонических функций, стоящих в левой части уравнения. Изобразим ω²_oaCos(ωt-φ ) вектором длины ω²_oa направленным вправо, тогда изобразиться вектором длинны 2βаω, повернутым на π/2 против часовой стрелки, а - вектором длинны ω² a, повернутым на угол π.

Что бы уравнение было удовлетворено, сумма трёх векторов должна быть равна вектору, отображающему функцию f_oCosωt. Это возможно, если амплитуда а определяется из условия (т. Пифагора):

((ω² - ω_o²)a)²+(2βωa)²=(f_o)², (11)

откуда

(12)

Где .

На рисунке рассмотрено два случая: Рис.А- когда ω<ω_o, и Рис.Б- когда ω>ω_o.

Рисунки позволяют также получить значение φ – величину отставания по фазе вынужденного колебания от вынуждающей силы:

. (13)

Таким образом, мы получили те же самые значения для а и φ.

Общее решение уравнения (3) имеет вид:

. (14)

Первое слагаемое даёт заметный вклад в поведение системы только в начальной стадии процесса при установлении колебаний. Из-за экспоненциального множителя с течением времени его вклад уменьшается и по прошествии достаточного времени им и вовсе можно пренебречь. Таким образом, второе слагаемое описывает установившиеся вынужденные колебания.

Свойства вынужденных колебаний.

1. Это колебания с частотой вынуждающей силы.

2. Амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы.

3. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.

Резонанс

Зависимость амплитуды от частоты приводит к тому, что при определённой для данной системы частоте амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а частота – резонансной частотой.

Что бы определить резонансную частоту нужно найти минимум подкоренного выражения в формуле :

Продифференцируем по ω и приравняем к нулю:

(15)

Уравнение имеет 3 решения: ω=0 соответствует максимуму знаменателя и значит минимуму амплитуды. Решение

, не имеет физического смысла, так как частота величина положительная, а решение

(16)

как раз и дает нам максимум амплитуды.

Подставив это выражение в амплитуду, получим значение амплитуды при резонансе:

(17)

Свойства резонансных кривых

1. При отсутствии затухания β=0, резонансная частота совпадает с собственной частотой системы ω_рез =ω_о. При этом амплитуда стремиться к бесконечности.

2. Резонанс вообще наблюдается только при β< ω_о, в противном случае подкоренное выражение в (16) становится мнимым.

3. При стремлении ω к нулю амплитуда становится равной -смещению из положения равновесия под действием вынуждающей силы.

4. При стремлении ω к бесконечности (ω>>ω₀) все кривые асимптотически стремятся к нулю так как при большой частоте система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

5. Чем меньше затухание, тем острее пик в районе резонанса.

6. При малом затухании амплитуда имеет вид

(18)

Если разделить его на х_о (смещение из положения равновесия) то получим добротность

, (19)

Таким образом, добротность показывает во сколько раз амплитуда в момент резонанса, превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы.

7. Из графика так же видно, что значения резонансных частот всегда меньше чем собственная частота системы.

Фазовые кривые

Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы:

.

Причем величина отставания зависит как от ω так и от β, и лежит в пределах от 0 до π.

При частотах меньше собственной отставание меньше π/2, при частоте вынуждающей силы равной собственной частоте системы разность фаз равна π/2.

При частоте больше собственной отставание по фазе стремиться к π.

Явление резонанса может быть как вредным так и полезным. Например, при попадании в резонанс машины и устройства могут разрушиться. В авиации разрушение самолёта в воздухе под действием вибраций, возникающих при обтекании потоков воздуха при определённых скоростях, называют ФЛАТТЕРОМ.

В то же время резонанс с успехом используют в радиотехнике для выделения частот колебаний, в акустике итд.

Оказывается можно сильно раскачать систему, т.е привести в резонанс, если периодически изменять какой либо параметр системы. Такое явление называется параметрическим резонансом.