Семестр 02 / Лекции по физике / 2_Mayatnik
.htmЛекция №2 Лекция №2
©2004 Ёлкин Сергей Владимирович
Математический маятник
Математическим маятником называют систему, состоящую из невесомой нерастяжимой нити на которой подвешено тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с длинной нити.
Отклонение маятника от положения равновесия зададим углом φ.
При этом возникает момент силы, возвращающий маятник в положение равновесия подобно квазиупругой силе. Поэтому угловому смещению и моменту силы нужно приписывать разные знаки.
(1)
Напишем уравнение динамики вращательного движения, учитывая, момент инерции равен mL2 :
(2)
Сократив на массу и длину, ограничимся случаем малых колебаний, то есть когда φ<<1 (Sin φ ≈ φ):
.
Обозначим
, (2.1)
получим уравнение гармонических колебаний для переменной φ:
. (3)
Его решение запишем по аналогии:
(4)
Из (2.1) видно, что частота колебаний не зависит от массы груза, а только от длины маятника и ускорения свободного падения. Следовательно, для периода колебаний можно записать
(5)
Если маятник отклоняется на большие углы, то формула для периода уже будет несправедлива.
Физический маятник
Если размерами колеблющегося тела нельзя пренебречь, то маятник называется физическим. Тогда уравнение (2) нужно записать в виде
(6)
Это даст нам для частоты колебаний формулу
, (7)
и соответственно для периода
. (8)
Из сравнения формул (8) и (5) можно сделать вывод, что физический маятник будет колебаться с той же частотой, что и математический, если длина математического маятника будет равна lпр :
(9)
Точка О называется точкой подвеса, точка С – центр масс, а точка О’- центр качания и лежит на расстоянии приведённой длинны от точки подвеса. Точку качания можно определить как такую материальную точку, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, что бы период маятника остался без изменения.
Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности, то есть, если маятник перевесить, так что бы центр качания стал точкой подвеса, то прежняя точка подвеса станет новым центром качания. Это называется теоремой Гюйгенса.
Подставим в формулу для приведённой длины теорему Штейнера:
. (9.а)
Отсюда следует, что центр качания и точка подвеса лежат по разные стороны от центра масс.
Теперь перевесим маятник так, что бы точкой подвеса стал центр качания. Следовательно, теперь приведённая длина будет:
, (9.в)
где l’= lрп - l , затем из формулы (9.а) получим
подставим в (9.в)
. Что и требовалось доказать.
На этом свойстве основано определение ускорения с помощью оборотного маятника. Оборотным называется маятник с двумя опорными призмами параллельными друг другу. Вдоль маятника могут перемещаться грузы. С их помощью добиваются того, что при подвешивании за любую из призм период колебаний маятника не меняется. Тогда расстояние между опорными призмами равно приведённой длине. Измерив период колебаний и приведённую длину, можно по формуле
найти ускорение свободного падения.
Векторные диаграммы
Решение многих задач облегчается, если использовать так называемую векторную диаграмму. Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания а, а направление вектора составляет с осью х угол равный начальной фазе φ.
Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω, то его проекция будет меняться в пределах от +а до –а, причём координата этой проекции будет меняться по закону
.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение колеблющегося тела будет суммой смещений х1 и х2:
(10)
Представим их в качестве векторов а1 и а2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а. Проекция этого вектора на ось равна сумме проекций исходных векторов. Следовательно, он представляет собой результирующее колебание и вращается с той же угловой скоростью, что и вектора а1 и а2. Поэтому, а является то же гармоническим колебанием. С помощью векторной диаграммы найдём амплитуду и начальную фазу суммарного вектора.
Амплитуду найдём из теоремы косинусов, а начальную фазу из отношения сумм проекций:
(11)
Эти формулы можно получить и традиционным путём тригонометрических преобразований. Однако, метод векторных диаграмм позволяет это сделать быстрее. Если частоты колебаний разные, то результирующий вектор будет вращаться с непостоянной скоростью, и при этом пульсируя по величине.
Вывод уравнения колебаний через закон сохранения
Пусть кинетическая и потенциальная энергия некоторой системы равны
, . (12)
Закон сохранения для этой системы имеет вид
. (13)
Продифференцируем выражение по времени:
.
Теперь видно, что если обозначить , то получим уравнение колебаний.
Нередко таким путём идти проще, так как закон сохранения написать легче, чем уравнение динамики.
Биения. Сложение колебаний одного направления
Биениями называются колебания, у которых амплитуда пульсирует. Их можно получить, складывая одинаковые по направлению колебания, мало отличающиеся по частоте (Δω « ω):
Для простоты положим амплитуды равными друг другу, а начальные фазы равными нулю. Применив, формулу для суммы косинусов
получим:
(12)
В формуле (12) множитель в больших скобках меняется гораздо медленнее, чем Сosωt. Он отвечает за изменение амплитуды колебаний.
Так как амплитуда величина положительная, то аналитическое выражение для амплитуды биений имеет вид:
(13)
Эта функция имеет частоту в два раза большую чем функция то есть Δω.
Таким образом, частота биений равна разности частот складываемых колебаний.