Вопрос16. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме(формулы с доказательством). Формула Муавра.
1.Умножение.
=
Док-во:
=
)
=
=
(
)
2.Деление.
=
3.Возведение в степень.
Формула Муавра.
=
=
Вопрос 17.
Корни из комплексного числа. Теорема о существовании и количестве корней из комплексного числа. Изображение комплексных корней на окружности.
Корни из комплексного числа.
Пусть
дано комплексное число z
и n
– натуральное число. Корнем n-й
степени из числа z
называется комплексное число ω, n-я
степень которого равна z.
z=
Теорема о существовании и количестве корней из комплексного числа.
Существует
ровно n
различных корней n-ой
степени из комплексного числа z=
и все они находятся по формуле:
k=0,1,…,n-1 – счетчик корней
Док-во
1)Докажем
что комплексные числа
находящиеся по указанной формуле
действительно являются корнями n
из z.
Док-во
=
=
=
r(
)
2)
Доказать
=
=
=
=
=
=
=
3)
;
;…
Таким
образом, любой
совпадает с одним из чисел
,
k=0,1,…,n-1.
4.Докажем
что
0≤i≠j≤n-1
Предположим протиивное.
Пусть
;l≠j
=
=
Модули данных чисел равны значит должны быть и аргументы
=
=>
=
Так
как равенство тригонометрических
функций рассматривается с точностью
до периода в аргументе, то в общем случае
=
+2
tn
=>
=
+2
t
+2
t=0
+nt=0
Правая часть кратная n=> и левая часть кратная n, но 0<j,l≤n-1
=>
<n=>=>
не кратно n.
Полученное
противоречие снимает допущение, что
при не равных
=>
-
они равны => если
,
то и
=
теорема верна
Следствие:
корни n
степени из комплексного числа z
изображаются точками окружности и
центом в начале координат, радиусом
и делят окружность на n
равных частей.
Вопрос 18.
Корни из единицы. Теорема о существовании и количестве корней из единицы. Изображение корней из единицы на единичной окружности. Теорема о сумме всех корней из единицы.
Корни из единицы.
