Вопрос 3.

Решение неопределенной СЛУ. Фундаментальный набор решений однородной СЛУ. Примеры.

- если в ступенчатом виде СЛУ имеет число уравнений = числу неизвестных, то система совместна и определена, в этом случае система решается методом Гаусса.

- если в ступенчатом виде СЛУ содержит противоречивое равенство (0=В, где В≠0) то система не совместна.

– Если в ступенчатом виде число уравнений < числа неизвестных, то система совместна и неопределенна. В этом случае оставляем в левой части столько неизвестных, какого число уравнений в ступенчатом виде, остальные неизвестные переносим вправо. Неизвестные левой части назовем базисными неизвестные, неизвестные правой части – свободные неизвестными. В качестве базисных неизвестных принято брать такие неизвестные, которые в ступенчатом виде участвуют в формировании ступени, т.е. неизвестные, которые стоят первыми в уравнении ступенчатого вида, после этого базисные неизвестные выражаем через свободные неизвестные и свободные члены, выполняя подстановку снизу вверх, как и в случае с определенной системой. В результате получим общее решение, чтобы проверить правильность вычисления из общего решения можно найти сколько угодно много частных решений. Для этого свободным неизвестным предаем произвольное значение, а значение базисных вычислений по формулам общего решения.

Фундаментальный набор решений однородной СЛУ

- система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

- пусть дана одна однородная СЛУ, которое имеет не нулевое решение (т.е. неопределенна), тогда базис множества всех решений называется фундаментальным набором решений системы.

Покажем один из способов нахождения фундаментального набора решений.

Если решая однородную СЛУ мы получаем общее решение:

Где r- количество базисных неизвестных, а , , - свободные неизвестные.

Тогда чтобы найти фундаментальный набор значений будем искать частные решения следующим образом

Т.е. каждый из свободных неизвестных должны побывать в роли единицы остальные должны быть равны нулю.

Базисные неизвестные при этом вычисляются по указанным ниже формулам. Вместо единицы можно брать любое число корме нуля(0). Но остальные неизвестные при этом должны оставаться нулевыми.

Вопрос 4.

Арифметическое n-мерное векторное пространство, свойства операций с доказательством. Примеры доказательства.

– Арифметическим n-мерным пространством называется упорядочная совокупность n чисел.

- множество всех векторов размерности n относительно операции сложения и умножения на число, называется арифметическим n-мерным векторным пространством (называется )